Санау жүйелері
Сан түсінігі – математикадағы сияқты информатикада да басты ұғымдардың бірі болып табылады. Математикада сандарды өңдеу әдістеріне көп көңіл бөлінетін болса, информатика үшін сандарды ұсыну әдістерін айналып өтуге болмайды, өйткені тек сол арқылы ғана жадтың қажетті қорын, жылдамдығын және есептеуде жіберген қателерін анықтайды.
Сандарды цифр деп атайтын арнайы символдардың көмегімен бейнелеу қабылданған.
Санау жүйесі - сандарды цифрлар мен белгілер арқылы жазудың әдістері мен ережелері. Кез келген санау жүйесі белгілі бір таңбалардың жиынтығын қолданады. Мұндай таңбалар жиынтығын – санау жүйесінің алфавиті деп атайды.
Санау жүйесі екі топқа бөлінеді: позициялық және позициялық емес (бейпозициялық).
Позициялық емес санау жүйесінде әрбір цифрдың мәні оның санның жазылуындағы орнына байланысты емес. Мұндай санау жүйелерінің құрылымы қарапайым болып келеді. Мысалы ретінде I,X,V, L(50), C(100), D(500), M(1000) және т.б. белгілер жиынтығынан тұратын римдік санау жүйесін алуға болады. Мұнда I, V, X сандары негізгі сандар, ал қалғандары осы негізгі сандарға қосу (VI, VII) немесе алу (IV, IX) амалдарын қолдану арқылы алынады. Мысалға, XXXII (отыз екі) санында Х цифры кез келген позицияда 10-ды білдіреді. CCXXXII саны екі жүздіктен, үш ондықтан және екі бірліктен тұрады.
Римдік санау жүйесінде сандағы цифрлар солдан оңға қарай кемуі бойынша жазылса, онда олардың мәндері қосылады. Мысал келтіре кетейік:
MDCCLXVII - 1000+500+100+100+50+10+5+1+1 = 1767
Ал санның жазылуында (слайд 8) цифрдың мәні өзінің оң жағындағы цифрдан кем болса, онда ол сан оң жақтағы саннан азайтылады.
MCMXCIV - 1000+ (-100+1000) +(-10+100) + (-1+5)=1994.
MCMXCVIII - 1000+ (-100+1000) +(-10+100) + 5+1+1+1=1998.
Тарихтағы алғашқы санау жүйелері позияиялық емес болған. Олардың негізгі кемшілігі үлкен сандарды жазу қиындығы. Позияиялық емес санау жүйесінде қосу, алу амалдары еш қиындық туғызбаса да, бұл жүйелердегі көбейту, әсіресе бөлу амалдарын орындау орасан қиындықтар туғызады. Дегенмен позициялық емес римдік санау жүйесі әлі күнге дейін кейбір тұстарда (сағат, ғасыр, конференциялар т.б. номерлерін белгілеуде) қолданылып келеді.
Позициялық санау жүйесінде цифрдың мәні оның сандағы орнына (позициясына) байланысты болады. Мысал, 555 санындағы бірінші цифра мәні-5 бірлік, екінші цифрдың мәні – 5 ондық және үшінші цифрдфң мәні 5 жүздік.
Кез келген позициялық санау жүйесінде негіз ұғымы қалыптасқан. Берілген санау жүйесіндегі санды өрнектеуге қолданылатын белгілер мен цифрлар саны сол санау жүйесінің негізі (базис) деп есептеледі. Мысал: екілік санау жүйесінде негіз – 2, ондық санау жүйесінде негіз – 10.
Позициялық санау жүйелері ЭЕМ-да қолданылады. Позициялық санау жүйесі үшін төмендегі өрнек орындалады.
(1)
немесе
Мұндағы Аq – негізі q санау жүйесінде жазылған кез келген сан;
n+1, m- бүтін және бөлшек разрядтар саны.
Цифрдың сандағы позициясы разряд деп аталады.
Позициялық санау жүйесінде сан коэффициенттерінің санау жүйесінің негіз дәрежесіне көбейтінділерінің қосындылары түрінде беріле алады.
Мысалдар:
692(10)=6*102 + 9*101 + 2*100
101(2) = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20
112(3)= 1*32 + 1*31 + 2*30
15(8) = 1*81 +5*80
A1F(16)= A*162 + 1*161 + F*160
Алғашқа позициялық санау жүйесі ертедегі Вавилонда құрылған, негізі 60-қа тен алпыстық санау жүйесі болған. Айта кететіні, уақытты біз осы кезге дейін негізі 60-қа тең өлшеммен есептейміз.
Ондық санау жүйесі біздің эрамыздың VI ғ. шамасында Үндістанда пайда болған деп есептеледі. Ондық санау жүйесінде санды жазу үшін он цифр қолданылады – 0,1,2,3,....9, бірақ мағананы тек қана цифр ғана емес оның тұрған орны да береді.
Егер сан бөлшек болса, онда ол қосынды түрінде оңай жазылады. Бөлшек бөліктегі әрбір цифр үшін негіздеуші дәреже теріс болып келеді (бөлшек бөліктің үлкен цифры үшін ол (-1), келесі цифры үшін (-2) және т.с.с).
Мысал, 256, 49 ондық саны мынадай қосындымен беріледі:
256, 49 = 2*102 + 5*101 + 6*100 + 4*10-1 + 9 * 10-2
Осылайша, ондық санның кез келген цифрінің салмағы - онның белгілі бір бүтін дәрежесі, ал дәреженің мәнін сәйкес цифрдың позициясы бекітеді.
Екілік (бинарлық) санау жүйесі.
Компьютерде негізі екіге тең екілік санау жүйесі қолданылады. Бұл жүйеде кез келген сан бар жоғы екі сан 0 мен 1 арқылы өрнектеледі. Тек қана 0 мен 1 цифрларынан тұратын екілік саннан ондық санды ажырату үшін, екілік санды жазуда индекс немесе & - амперсант белгісі қосылып жазылады, мысалы, 101012 ; &1010.
Екілік санның әрбір рязрядын (цифрын) бит деп атайды. Екілік жүйенің маңызды құндылығы – цифрды ұсыну ыңғайлылығы.
Ондық сандар сияқты екілік санды да қосынды түрінде жазуға болады.
Мысалы, 101001,101 екілік сан үшін қосынды мына түрде болады:
1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3
Екілік санау жүйесінде әрбір цифрдың мәні тұрған орнынан үлкен келесі разрядқа көшкенде екі есе өседі. Бір битпен 0 немесе 1 деген екі ұғым өрнектеледі. Ал егер бит санын екіге өсірсе, онда әртүрлі төрт ұғым өрнектеуге болады:
00 01 10 11
Үш бит арқылы сегіз ұғым өрнектеледі:
000 001 010 011 100 101 110 111
Екілік кодтау жүйесінде разряд санын бірге өсіру арқылы, біз нәтижесінің санын екі есе өсіреміз. Оның ортақ формуласының түрі:
N= 2 m. мұндағы N – кодталатын еркін мәндердің саны;
m – берілген жүйеде қабылданған екілік кодтаудың разряды.
Екілік санау жүйесінің негізгі жағымды жағы - аппараттық қолданысқа барынша ыңғайлы арифметика амалдарының орындалу қарапайымдылығы. Екілік санау жүйесі компьютерге ыңғайлы болғанымен, адам үшін жазылуының ұзындығы мен еске сақтауғақиындығынан қолайсыз.
Екілік жүйенің кемшілігі – санды бұл жүйеде жазу үшін 0 мен 1 цифрлары мейілінше көп қажет. Бұл адамның екілік санды қабылдауын қиындатады. Сондықтан екілік жүйені, қағида бойынша компьютердің «ішкі қажеттігі» үшін қолданады.
Екілік санау жүйесін компьютерлердің пайда болуынан көп уақыт бұрын (XVII-XIX ғасырлар) математиктер мен философтар ойлап шығарған. Атақты неміс ғалымы Г.В.Лейбниц 1703 жылы «Арифметикалық оператордың орындалу ережелері жайлы» ғылыми мақаласында былай деп жазған: «Екілік сандармен есептеу – ғылым үшін негізгі болып табылады және жаңа ғылыми жаңалықтар ашуға жол береді... Сандарды 0 мен 1 сияқты қарапайым түпнегізге келтіргенде, барлық жерде таңғажайып тәртіп пайда болады». Кейіннен қолданыс таппаған екілік жүйе ұмытылды, тек қана ХХ ғасырдың 30-шы жылдарында алғашқы қолданбалы екілік санау машиналары Германия мен Францияда құрастырылды. Жобасын жасаушы АҚШ инженері ДЖ. Атанасов болды. 1937 жылы элетр магниттік негізінде «Екілік есептеуіш машинасын» Дж.Штибиц құрды. 1936-1938 жылдары электронды схемаларды құрастыру кезінде американдық инженер-математик Клод Шеннон оған керемет қолданыс тапты.
Компьютерде сол сияқты сегіздік және он алтылық санау жүйелері де қолданылады.
Сегіздік санау жүйесі (1950-70 жылдарда бағдарламалауда кең қолданылған).
8 саны 2 санының дәрежесі болатындықтан сегіздік санау жүйесін екілік сандарды жазудың ықшам нұсқасы ретінде қарастыруға болады. Сегіздік санау жүйесі (негізі – 8) сегіз цифрдың көмегімен санды көрсетеді: 0,1,....7.
Он алтылық санау жүйесі. Он алтылық санау жүйесін американдық IBM корпорациясы енгізген, IBM үйлесімді компьютерлерге арналған бағдарламаларда кең қолданылады.
Он алтылық санау жүйесін екілік санды жазуды қысқарту үшін қолданылатын тағы бір нұсқа деп қарастыруға болады. Он алтылық санау жүйесінің негізі – 16. Он алтылық позициялық санау жүйесінде санды жазу үшін ондық санау жүйесінің цифрлары 0,1,.....9, және жетпейтін алты цифрды белгілеу үшін мәні ондық 10, 11, 12, 13, 14, 15 цифрларына сәйкес болатын латын алфавитінің алғашқы үлкен әріптері A, B, C, D, E, F қолданылады. Ондық жүйеге қарағанда он алтылық жүйе өте тұрақты.
Санау жүйелеріндегі түрлендірулер. Компьютер екілік кодтармен жұмыс жасайды. Ал пайдаланушы ондық, он алтылық кодтармен жұмыс жасайды. Сондықтан қандай бір q негізді санау жүйесіндегі А санын р негізді санау жүйесіндегі А санына түрлендіру және кері түрлендірулер қажет болады.
Мұндай түрлендірулер негізгі екі әдіспен жүзеге асады:
бөлу, көбейту ережелері арқылы;
ауыстыру ережелері арқылы.
Көбінесе ондық санау жүйесінен басқа санау жүйесіне көшу үшін қолданылады. Бұл ереже санның алғашқы q негізді жүйедегі кодымен арифметикалық операциялар жүргізуді ескертеді. Бөлу ережесі бүтін санды түрлендіру үшін, көбейту дұрыс бөлшек санды түрлендіру үшін қолданылады.
Бөлу ережесі. - Аq - >Ap түрлендіру үшін қажет. Ол үшін берілген q негізді санды және шығатын бөлінділерді р негізіне тізбектеп бөлу қажет. Бөлуді бөлінді р негізінен кіші болғанша жалғастыру қажет. Санның жаңа р негізді жүйедегі орнын алу үшін ең соңғы бөліндіден бастап, бөлуге кері бағытта қалдықтарды тізбектеп жазу қажет. Ондық жүйедегі бүтін санды немесе санның бүтін бөлігін екілік жүйеге көшіру үшін, бөлінді 0-ге немесе 1-ге тең болғанша бөлу керек. Ең соңғы бөліндіден бастап, қалдықтарды тізбектеп кері бағытта жазғанда шыққан сан – берілген санның екілік жүйедегі коды болып табылады.
Көбейту ережесі Аq - >Ap. Бұл жағдайда берілген бөлшек санды санның бөлшек бөлігін және шыққан көбейтінділерді р негізіне тізбектеп көбейту қажет. Шыққан көбейтіндінің бүтін бөліктері берілген санның р негізді жүйедегі цифрларын береді.
Көбейтуді ізденімді р негізді сандар салмағы берілген q негізді санның кіші разряды салмағынан кем аз разрядтарға дейін жүргізу керек. Жалпы жағдайда бұл үрдіс шексіз болуы мүмкін. Сондықтан алынған код көп жағдайда жуық сан болады. Тәжірибеде осы операциялар үтірден кейін берілген цифр саны алынғанша орындалады.
Оң ондық бөлшекті екілік санау жүйесіне ауыстыру үшін бөлшекті 2-ге көбейту қажет. Көбейтіндінің бүтін бөлігі екілік бөлшектің үтірден кейінгі бірінші цифры ретінді алынады. Екілік бөлшектің келесі цифры ретінде осы көбейтіндіні алады, ал көбейтіндінің бөлшек бөлігін қайтадан 2-ге көбейтеді және т.с.с.
Ереже q негізді жүйедегі аралас санды р негізді жүйедегі санға көшіру үшін, оның бүтін бөлігін бөлу ережесі арқылы, ал бөлшек бөлігін көбейту ережесі арқылы түрлендіріп алып, шыққан кодтарды жүйеде аралас сан турде тіркестіріп жазу керек.
Ауыстыру ережесі бірінші формуланың көмегімен жүзеге асырылады және көбінесе, ондық емес санау жүйесінен ондық санау жүйесіне көшу үшін қолданылады. Ауыстыру ережесі санның жаңа жүйедегі кодымен арифметикалық операциялар жүргізуді ескертеді.
Сандарды екілік жүйеден сегіздік, он алтылық санау жүйелеріне ауыстыру.
Негіздері q=2, q=8 және q=16 болатын санау жүйелері арасындағы байланыс екі теорема арқылы анықталады.
Теорема 1. Негізі q=2n болатын санау жүйесінде бүтін екілік санды жазу үшін, берілген екілік санды оңнан солға қарай (ең кіші разрядынан үлкеніне қарай) әрбірінде n цифр болатындай топтарға (грани) бөлу керек. Одан кейін осы топтың әрқайсысын n разрядты екілік сан ретінде қабылдап оны негізі q=2n болатын санау жүйесінің цифры етіп жазу.
Екілік санды сегіздік немесе он алтылық санға түрлендіру үрдісі өте қарапайым. Кез келген цифрды сегіздік сан түрінде жазу үшін үш екілік цифр қажет (басқаша айтқанда негізі q = 23 ). Сондықтан түрленетін екілік санды оңнан солға қарай үш үштен бөледі, содан кейін екілік цифрдың әрбір үштік тобын кестеде көрсетілген сәйкес сегіздік эквивалентімен ауыстырады. Екілік цифрлардың үштік топтарын – триада деп атайды.
Екілік жүйедегі бөлшек санды немесе санның бөлшек бөлігін сегіздік жүйеге көшіру үшін санды үтірден кейін оң жақ шеткі нуктеге дейін триадаларға бөлу керек. Содан кейін әрбір триадаға сәйкес сегіздік сәйкес санды жазу керек.
Екілік сандар он алтылық санау жүйесіне жоғарыдағыға ұқсас түрленеді, тек қана айырмашылығы - әрбір түрленетін екілік сан төрт төрттен топтарға бөлінеді, өйткені он алтылық санның кез келген цфрын жазу үшін төрт екілік цифр қажет (екілік цфрлардың төрттік топтарын – тетрада деп атайды).
Егер ауыстырғаннан кейін екілік санның бүтін бөлігі нөлден тұратын болса, онда олар алынып тасталады. Бөлшек бөліктің соңындағы нолдер де тура солай алынып тасталады.
Теорема 2. Негізі q=2n болатын санау жүйесінде жазылған бүтін санды оған сәйкес екілік санау жүйесіндегі санмен ауыстыру үшін, берілген санның әрбір цифырын n разрядты екілік санмен ауыстыру жеткілікті.