15. Дробный факторный эксперимент (дфэ). Проверка пригодности спектра плана для проведения эксперемента.

Наряду с положительными качествами полного факторного эксперимента, он имеет недостаток. Увеличение количества факторов приводит к быстрому росту числа опытов и, что обусловлено степенной зависимостью (2ⁿ). Кроме того, необходимо дублирование опытов. Структура регрессионной модели выбирается на основе априорной информации о физических свойствах объекта. Сложно представить влияние на характеристики объекта сочетания факторов выше 2 или 3 порядка. Поэтому часто ограничиваются сочетаниями факторов 2-го порядка и отдельными сочетаниями 3-го порядка. В этом случае полный факторный эксперимент оказывается избыточным. Но тогда должно соблюдаться условие возможности оценки коэффициентов регрессии по результатам опытов, которые выражаются N≥Nв (N-число экспериментов, Nв – число переменных). Во многих случаях описания модели сложной системы в связи с отсутствием необходимой информации о влиянии фактора на выходные параметры строят линейную модель. Так для 3-х факторов Nв=4, а при Nв=3, спектр плана должен иметь 8 точек => 4 опыта оказываются избыточными и их можно сократить на основе принятых условностей. При построении матмодели использующих упрощенное представление регрессии применяют дробные факторные эксперименты. Наибольшее распространение получили планы дробного факторного эксперимента типа 2^n-p, p – степень дробности, n – число факторов. Планы ДФЭ принято называть репликами с указанием степени дробности. ДФЭ 2^n-1 – полуреплика, ДФЭ 2^n-2 – четвертьреплика. Число точек спектра этого плана N=2^n-p. При соблюдении такого плана должно соблюдаться условие отсутствия в матрице базисных функций совпадающих или полностью противоположных столбцов. Процедура построения спектра плана ДФЭ:

1 выбор структуры уравнения регрессии и определение степени дробности. Исходят из условия N>Nв

2 выбор ведущих факторов и построение для них матрицы спектра плана. Число ведущих факторов К принимают равным разности между количеством опытов и степенью дробности. Для выбранных К факторов строят план полного факторного эксперимента, используя правило чередования знаков

3 построение матрицы спектра плана ДФЭ. Для этого используется матрица, полученная на 2-м шаге в качестве 1-й части, во 2-ю часть должны войти столбцы матрицы для остальных факторов, число которых равно p. Столбцы матрицы, соответствующие эти факторам определяют путем умножения соответствующих столбцов ведущих факторов. Для этого используют т.н. генерирующее соотношение – алгебраическое выражение, устанавливающее связь между одним из факторов и произведением какой-либо комбинации ведущих факторов. Чтобы полученные столбцы были ортогональными, для каждого из них задается отдельное генерирующее соотношение. Выбор их произволен, но нельзя использовать те произведения ведущих факторов, которые входят в состав существующих переменных, т.к. в этом случае в матрице базисных функций окажутся совпадающие столбцы. Количество ведущих факторов, входящих в генерирующее соотношение может быть произвольным

4 проверка пригодности полученного спектра плана. Для этого необходимо построить матрицу базисных функций и проверить, нет ли совпадающих или противоположных столбцов. Если их нет, то спектр плана пригоден для решения поставленной задачи.

Иначе последовательно выполняется следующая процедура:

1 выбираются иные генерирующие соотношения

2 изменяется набор ведущих факторов

3 уменьшается степень дробности плана р. При ограниченных возможностях проведения опытов, р сохраняю, но изменяют структуру регрессионной модели.