10. Условия существования экстремумов целевой функции

Рассмотрим задачу поиска экстремума целевой функции в одномерном случае. F(x) определена на [a;b] и n-кратно дифференцируема на интервале. Условия существования экстремума:

1

2 для минимума; для максимума.

Точки, в которых выполняется условие 1 и 2 – стационарные, а сами условия – необходимые условия наличия экстремума. Чтобы стационарная точка была точкой экстремума, необходимо выполнение достаточных условий. Для их формулировки предположим, что в точке Х* первые m-1 производных обращаются в ноль, а производная m-го порядка не равна нулю => если m нечетное число, то Х* - точка перегиба, если m четное число, то Х* - точка локального экстремума. Все рассмотренные положения относятся к непрерывной целевой функции, для которой 1-я производная существует и непрерывна во всей области определения, но непрерывная целевая функция может иметь изломы, в которых она не дифференцируема. Если экстремум окажется в точке излома или разрыва, то даже необходимые условия не будут выполняться. Для целевой функции, у которой множество аргументов, имеющей все первые и вторые частные производные, необходимое и достаточное условие определяется аналогичным образом. Необходимое условие наличия экстремума:

Достаточное условие для достижения максимума – матрица Гессе отрицательно определена в точке Х*. Для минимума – определена положительно. Если достаточное условие не выполняется – это седловая точка.

Матрица Гессе – матрица вторых частных производных целевой функции по управляемым параметрам. Матрица Гессе:

d2F(x)/dx12	d2F(x)/dx1dx2	…	d2F(x)/dx1dxn
d2F(x)/dx2dx1	d2F(x)/dx22	…	d2F(x)/dx2dxn
d2F(x)/dxndx1		…	d2F(x)/dxn2

Проверка этих условий позволяет выявить локальные экстремумы, но определить, являются ли они глобальными невозможно.

11. Постановка задачи оптимизации

Матмодели объектов позволяют осуществить анализ процессов их функционирования, получить оценки выходных параметров в различных ситуациях и выбирать наилучшее решение из возможных альтернатив, т.о. выделяются 2 задачи: анализа и синтеза. Многообразие исследовательских и проектных задач привело к разработке множества методов оптимизации, обладающих различными свойствами и возможностями поиска экстремума с учетом особенностей моделей объектов. Под оптимизацией понимается процесс поиска наилучшего варианта решения некоторой задачи в условиях множества альтернатив. Основой правила предпочтений, которое используется при оптимизации, должна быть 1 однозначная численная характеристика объекта – скалярная функция (целевая функция). Она отображает цель поиска оптимального решения. Задача параметрической оптимизации заключается в поиске параметров, при которых целевая функция достигает своего экстремума. Параметры, доставляющие экстремум целевой функции являются оптимальными. Аргументами целевой функции являются внутренние управляемые параметры, т.е. параметры, описывающие свойства элементов, подлежащих оптимизации. Вектор управляемых параметров Х={Хn}, целевая функция – F(x), т.о. поиск решения осуществляется в n-мерном Евклидовом пространстве. Целевая функция может быть представлена геометрически в виде поверхности отклика. Функции, имеющие только 1 экстремум называются унимодальными. Непрерывная функция может иметь несколько экстремумов => есть точки локального и глобального экстремумов. Глобальный экстремум можно определить путем нахождения всех локальных экстремумов и их сравнения. Если экстремум отыскивается в неограниченной области параметров Х, то его называют безусловным экстремумом, а методы поиска – безусловной оптимизацией. Но в большинстве случаев присутствуют ограничения. Виды ограничений:

1 неравенство

2 равенства

Наличие ограничений означает условную оптимизацию, при которой находится условный экстремум целевой функции. Наложение ограничений приводит к тому, что поиск решения ограничивается областью Х (т.е. областью работоспособности объекта).