4.7 Коды Рида-Соломона (рс)

Коды РС являются недвоичными циклическими кодами, символы кодовых слов которых берутся из конечного поля GF(q). Здесь q степень некоторого простого числа, например q=2^m.

Допустим, что РС-код построен над GF(8), которое является расширением поля GF(2) по модулю примитивного многочлена f(z)=z³+z+1. В этом случае символы кодовых слов кода будут иметь значения, представленные в таблице 6.

Таблица 6

<TBODY>000	0	0	011	z+1	3
001	1	0	110	z2+z	4
010	z	1	111	z2+z+1	5
100	z2	2	101	z2+1	6</TBODY>

Кодовые слова РС-кода отображаются в виде многочленов

V(x)=V_N-1x^N-1+ ... +V₁x¹+V₀; где N - длина кода; V_i - q-ичные коэффициенты (символы кодовых слов), которые могут принимать любое значение из GF(q). Эти коэффициенты как это следует из таблицы, также отображаются многочленами с двоичными коэффициентами V_i=a_m-1z^m-1+ ... +a₁z¹+a₀.

Коды РС являются максимальными, т.к. при длине кода N и информационной последовательности k они обладают наибольшим кодовым расстоянием d=N-k+1. Порождающим многочленом g(x) РС-кода является делитель двучлена x^N+1 степени меньшей N с коэффициентами из GF(q) при условии, что элементы этого поля являются корнями g(x). Здесь  - примитивный элемент GF(q). На основе этого определения, а также теоремы Безу, выражение для порождающего многочлена РС-кода будет иметь вид g(x)=_i=1^d-1(x-ⁱ). Степень g(x) равна d-1=N-k=R. В РС-кодах принадлежность кодовых слов данному коду определяется выполнением d-1 уравнений в соответствии с выражением

_i=0^N-1Viz_i^m=0;(m=m₀; m₀+1; ... m₀+d-2) (*)

где V_i - символы-коэффициенты из GF(q); z₀, z₁... z_N-1 - ненулевые элементы GF(q). Элементы z₀, z₁... z_N-1 называются локаторами, т.е. указывающими на номер позиции символа кодового слова. Например, указателем i - позиции является локатор zi или элемент ⁱ GF(q). Так как все локаторы должны быть различны и причем ненулевыми, то их число в GF(q) равно q-1. Следовательно, такое количество символов должно быть в кодовых словах кода. Поэтому обычно длина РС-кода определяется из выражения N=q-1.

Пример. Допустим, что длина РС-кода равна N, кодовое расстояние d=3, то в соответствии с (*) проверочными уравнениями будут

V_N-1(^N-1)¹+V_N-2(^N-2)¹+ ... +V₁(¹)¹+V₀(⁰)¹=0;

V_N-1(^N-1)²+V_N-2(^N-2)²+ ... +V₁(¹)²+V₀(⁰)²=0;

Свойства РС-кодов:

1. Циклический сдвиг кодовых слов, символы которых принимают значение из GF(q), порождает новые кодовые слова этого же кода.

2. Сумма по mod2 двух и более кодовых слов дает кодовое слово, принадлежащее этому же коду.

3. Кодовое расстояние РС-кода определяется не по двоичным элементам, а по q-ичным символам.

4. В РС-коде, исправляющем t_u ошибок порождающий многочлен определяется из выражения g(x)=(x-^m0)(x-^m0+1)...(x-^m0+2tu-1). Обычно m₀ принимают равным 1. Однако, с помощью разумного выбора значения m₀, иногда можно упростить схему кодера.

5. Корректирующие способности РС-кода определяются его кодовым расстоянием: t₀d-1; T₀(t₀-1)m+1; t_ud-1/2; T_u(t_u-1)m+1; где T₀, T_u - длина пакетов, в которых обнаруживаются и исправляются ошибки. Обнаружение ошибок в кодовых словах состоит в определении синдрома S=S_d-2 ... S₁S₀, элементы которого определяются из выражения S_j =_i=0^N-1 V_i z_i^m0+j; (j=0, ... , d-2).

Пример. Требуется сформировать кодовое слово РС-кода над GF(2³), соответствующее двоичной информационной последовательности a(1,0)=000000011100101.

Так как m=3, то каждый q-ичный символ кода состоит из трех двоичных элементов. Поэтому с учетом таблицы 6 a(x)=³x²+²x+⁶. Определяем параметры кода: N=q-1=7; k=5; R=2; d=N-k+1=3;

g(x)=_i=1^d-1(x-ⁱ)=(x-¹)(x-²)=x²+(¹+²)x+³=x²+⁴x+³.

Кодовое слово формируется в соответствии с выражением: V(x)=a(x)x^R+R(x); где R(x)=R_g(x)[a(x)x^R]=R_g(x)[(³x²+²x+⁶)x²]=R_g(x)[³x⁴+²x³+⁶x²]=⁶x+⁶.

В результатеV(x)=³x⁴+²x³+⁶x²+⁶x+⁶ или в двоичной форме V(1,0)=000.000.011.100.101.101.101.

Таблица 2 Элементы поля GF(16) как расширение GF(2) по примитивному многочлену (z)=z⁴+z+1

В двоичном виде	В виде многочлена	В виде степени		В двоичном виде	В виде многочлена	В виде степени
0000	0	0		1011	z3+z+1	7
0001	1	0		0101	z2+1	8
0010	z	1		1010	z3+z	9
0100	z2	2		0111	z2+z+1	10
1000	z3	3		1110	z3+z2+z	11
0011	z+1	4		1111	z3+z2+z+1	12
0110	z2+z	5		1101	z3+z2+1	13
1100	z3+z2	6		1001	z3+1	14

Таблица 3 Элементы поля GF(16) как расширение GF(4) по примитивному многочлену f(z)=z²+z+2

В четвертичном виде	В десятичном виде	В виде многочлена	В виде степени
00	0	0	0
01	1	1	0
10	4	z	1
12	6	z+2	2
32	14	3z+2	3
11	5	z+1	4
02	2	2	5
20	8	2z	6
23	11	2z+3	7
13	7	z+3	8
22	10	2z+2	9
03	3	3	10
30	12	3z	11
31	13	3z+1	12
21	9	2z+1	13
33	15	3z+3	14

Таблица 4 Элементы поля GF(4) как расширение GF(2) по примитивному многочлену f(z)=z²+z+1

В двоичном виде	В виде многочлена	В виде степени	В десятичном виде
00	0	0	0
01	1	0	1
10	z	1	2
11	z+1	2	3

Таблица 5 Операции сложения и умножения элементов в поле GF(4)

+	0	1	2	3		1	2	3
0	0	1	2	3	1	1	2	3
1	1	0	3	2	2	2	3	1
2	2	3	0	1	3	3	1	2
3	3	2	1	0

Таблица 6 Элементы поля GF(8) как расширение GF(2) по примитивному многочлену f(z)=z³+z+1

В двоичном виде	В виде многочлена	В виде степени		В двоичном виде	В виде многочлена	В виде степени
000	0	0		011	z+1	3
001	1	0		110	z2+z	4
010	z	1		111	z2+z+1	5
100	z2	2		101	z2+1	6

Таблица 7 Непримитивные элементы поля GF(2^m)

№	m	GF(2m)		N
1	4	GF(24)	3	5
			5	3
2	6	GF(26)	3	21
			7	9
			9	7
3	8	GF(27)	3	85
			5	51
			15	17
			17	15
4	9	GF(29)	7	73
5	10	GF(210)	3	341
			11	93
			31	33
			33	31
6	12	GF(212)	3	1365
			5	819
			7	585
			9	455
			13	315
			15	273
			21	195
			45	91
			63	65
			65	63