3. Коды Хэмминга

Кодом Хэмминга называется (n,k)-код, проверочная матрица которого имеет r = n-k строк и 2^r-1 столбцов, причем столбцами являются все различные ненулевые последовательности. Пример. Для (7,4)-кода Хэмминга

	1	0	1	1	0	0	1
H(7,4)=	1	1	1	0	0	1	0
	0	0	1	1	1	1	0

или

	1	1	1	0	1	0	0
H(7,4)=	1	1	0	1	0	1	0
	1	0	1	1	0	0	1

Проверочная матрица любого кода Хэмминга всегда содержит минимум три линейно зависимых столбца, поэтому кодовое расстояние кода равно трем.

Если столбцы проверочной матрицы представляют упорядоченную запись десятичных чисел, т.е. 1,2,3... в двоичной форме, то вычисленный синдром

S_i(1, 0)= S_r-1... S₁ S₀=v_i(1, 0)H_{(n, k)}^T;

однозначно указывает на номер позиции искаженного символа. Пример. Для (7,4)-кода Хэмминга проверочная матрица в упорядоченном виде имеет вид

	0	0	0	1	1	1	1
H(7,4)=	0	1	1	0	0	1	1
	1	0	1	0	1	0	1

Пусть переданное кодовое слово v(1, 0)=1101001, а принятое слово - v'(1, 0)=1101001. Синдром, соответствующий принятому слову будет равен S(1, 0)=v'(1, 0)H_(7,4)^T=[101].

Вычисленный синдром указывает на ошибку в пятой позиции. Проверочная матрица в упорядоченном виде представляет совокупность проверочных уравнений, в которых проверочные символы занимают позиции с номерами 2ⁱ (i=0,1,2...). Для (7,4)-кода Хэмминга проверочными уравнениями будут v₁=v₃+v₅+v₇; v₂=v₃+v₆+v₇; v₄=v₅+v₆+v₇; где v₁, v₂, v₇; - проверочные символы. Элементы синдрома определяются из выражений S₀=v₁+v₃+v₅+v₇; S₁=v₂+v₃+v₆+v₇; S₂=v₄+v₅+v₆+v₇.

Корректирующая способность кода Хэмминга может быть увеличена введением дополнительной проверки на четность. В этом случае проверочная матрица для рассмотренного (7,4)-кода будет иметь вид

	0	0	0	1	1	1	1	0
H(8, 4)=	0	1	1	0	0	1	1	0
	1	0	1	0	1	0	1	0
	1	1	1	1	1	1	1	1

а кодовое расстояние кода d₀=4. Проверочные уравнения используются для построения кодера, а синдромные - декодера кода Хэмминга.

4. Циклические коды

4.1 Основные понятия

Циклическим кодом называется линейный блоковый (n, k) - код, который характеризуется свойством цикличности, т.е. сдвиг влево на один шаг любого разрешенного кодового слова дает также разрешенное кодовое слово, принадлежащее этому же коду и у которого, множество кодовых слов представляется совокупностью многочленов степени (n-1) и менее, делящихся на некоторый многочлен g(x) степени r=n-k, являющийся сомножителем двучлена xⁿ⁺¹. Многочлен g(x) называется порождающим.

Как следует из определения, в циклическом коде кодовые слова представляются в виде многочленов v(x)=v_n-1x^n-1+ ... v₁x¹+v₀x⁰; где n - длина кода; v_i - коэффициенты из поля GF(q). Если код построен над полем GF(2), то коэффициенты принимают значения 0, 1 и код называется двоичным.

Пример. Если кодовое слово циклического кода v(1, 0) = 1011101001, то соответствующий ему многочлен v(x)=x⁹+x⁷+x⁶+x⁵+x³+1.

Например, если код построен над полем GF(q)=GF(2³), которое является расширением GF(2) по модулю неприводимого многочлена f(z)=z³+z+1, а элементы этого поля имеют вид, представленный в таблице 3,

Таблица 3

0	000	0	3	011	z+1
0	001	1	4	110	z2+z
1	010	z	5	111	z2+z+1
2	100	z2	6	101	z2+1

то коэффициенты v_i(x) принимают значения элементов этого поля и поэтому они сами отображаются в виде многочленов следующего вида v(x)=a_m-1z^m-1+ ... a₁z¹+a₀z⁰; где m - степень многочлена, по которому получено расширение поля GF(2); a_i - коэффициенты, принимающие значение элементов GF(2), т.е. 0 и 1. Такой код называется q-ным. Длина циклического кода называется примитивной и сам код называется примитивным, если его длина n=q^m-1 над GF(q). Если длина кода меньше длины примитивного кода, то код называется укороченным или непримитивным. Как следует из определения общее свойство кодовых слов циклического кода - это их делимость без остатка на некоторый многочлен g(x), называемый порождающим. Результатом деления двучлена xⁿ+1 на многочлен g(x) является проверочный многочлен h(x). При декодировании циклических кодов используются многочлен ошибок e(x) и синдромный многочлен S(x). Многочлен ошибок степени не более (n-1) определяется из выражения e(x)=v'(x)+v(x); где v'(x), v(x) - многочлены, отображающие соответственно принятое (с ошибкой) и переданное кодовые слова. Ненулевые коэффициенты в е(x) занимают позиции, которые соответствуют ошибкам.

Пример. v(x)=x⁶+x⁴+x³+x+1(1011011);v'(x)=x⁶+x⁴+x²+x+1(1010111);e(x)=x³+x² (0001100);

Синдромный многочлен, используемый при декодировании циклического кода, определяется как остаток от деления принятого кодового слова на порождающий многочлен, т.е. S_i(x)=R_g(x)[v'(x)]=R_g(x)[v'(x)+e_i(x)]=R_g(x)[e_i(x)]. Следовательно, синдромный многочлен зависит непосредственно от многочлена ошибок е(х).Это положение используется при построении таблицы синдромов, применяемой в процессе декодирования. Эта таблица содержит список многочленов ошибок (см. первый столбец стандартного расположения кода в разделе 2.4) и список соответствующих синдромов, определяемых из выражения S_i(x)= R_g(x)[e_i(x)].

Таблица 4

(x)	S(x)	(x)	S(x)
1	Rg(x)[1]	x+1	Rg(x)[x+1]
x	Rg(x)[x]	x2+1	Rg(x)[x2+1]
x2	Rg(x)[x2]	...	...
...	...

В процессе декодирования по принятому кодовому слову вычисляется синдром, затем в таблице находится соответствующий многочлен е(х), суммирование которого с принятым кодовым словом дает исправленное кодовое слово, т.е. v_i(x)=v_i'(x)+e_i(x).

Перечисленные многочлены v(x); v'(x); g(x); h(x); e(x); S(x) можно складывать, умножать, делить, используя правила алгебры, но с приведением результата по mod 2, а затем по mod xⁿ+1, если степень результата превышает степень (n-1).

Пример. Допустим, что длина кода n=7, то результат приводим по mod(x⁷+1): (x⁸+ x⁵+x⁴+x²+x+1) mod(x⁷+1)= x⁵+x⁴+x²+1.

При построении и декодировании циклических кодов в результате деления многочленов обычно необходимо иметь не частное, а остаток от деления. Поэтому рекомендуется более простой способ деления, используя не многочлены, а только его коэффициенты.