Тема №1 Решение алгебраических уравнений

Задача:

Дана функция

найти корни уравненияс точностью e=0,001?

Решение:

Решение данного типа задач состоит из двух этапов:

I. Отделение корней

Нахождение достаточно малого интервала, в котором находиться только один корень

Здесь используется теорема Больцмана-Коши

f(a)*f(b)<0

в ячейках А1-В12 вводимx, f(x)

f(x)=x^3+0,1*x^2+0,4*x=1,2

x	f(x)
-5	-128,3
-4	-66
-3	-27,9
-2	-8
-1	-0,3
0	1,2
1	2,5
2	9,6
3	28,5
4	65,2
5	125,7

II. Уточнение корней

Отыскание корни заданной точностью е

Существует 4 метода

1.Метод половинного деления

Functionf(x)

f=x^3-0.1*x^2+0.4*x+1.2

End Function

Sub Poldel()

a = -1

b = 0

e=0.001

n=0

Do

x=(a+b)/2‘Итерационнаяформула

f1=f(a):f2=f(x)

If f1*f2>o Then a=x Else b=x

n=n+1

Loop While Abs(b-a)>e

Worksheets (“Лист1”).Range (“E2”).Value=x

Worksheets (“Лист1”).Range (“F2”).Value=f(x)

Worksheets (“Лист1”).Range (“G2”).Value=n

EndSub

2. Метод касательных

SubКасательная()

x=0

e=0.001

n=0

h=0.1

Do

pr = (f(x+h)+f(x))/h

x1=x-f(x)/pr‘Итерационная формула

c=Abs(x1-x)

x=x1

n=n+1

Loop While c>e

Worksheets (“Лист1”).Range (“E3”).Value=x

Worksheets (“Лист1”).Range (“F3”).Value=f(x)

Worksheets (“Лист1”).Range (“G3”).Value=n

End Sub

3. Методхорд

SubХорд()

x=0

p=-1

n=0

e=0.001

Do

x1=x-f(x)/(f(x)-f(p))*(x-p) ‘Итерационная формула

c=Abs(x1-x)

x=x1

n=n+1

LoopWhilec>=e

Worksheets (“Лист1”).Range (“E4”).Value=x

Worksheets (“Лист1”).Range (“F4”).Value=f(x)

Worksheets (“Лист1”).Range (“G4”).Value=n

EndSub

4. Метод простой итераций

Functionfn(x)

‘fn=(0.1*x^2-0.4*x-1.2)^(1/3)

‘fn=((x^3+0.4*x+1.2)/0.1)^(1/2)

‘fn=((-x)^3+0.1*x^2-1.2)/0.4

End Function

SubПростаяитерация()

x=0

n=0

e=0.001

Do

x1=fn(x) ‘Итерационная формула

c=Abs(x1-x)

x=x1

n=n+1

Loop While c>=e

Worksheets (“Лист1”).Range (“E5”).Value=x

Worksheets (“Лист1”).Range (“F5”).Value=f(x)

Worksheets (“Лист1”).Range (“G5”).Value=n

EndSub

В решении методом простой итераций уравнение не имеет корень.

Сравнение методов

Методы	x	f(x)	n
половинное деление	0,90918	0,002132	10
Метод касательных	0,90987	1,45E-05	23
Метод хорд	0,90982	0,000177	4
Простая итерация

Если рассматривать выше приведенные методы на сложность, то они достаточно просты. Наиболее простым является метод половинного деления, которое всегда сходиться, если функция непрерывна и имеет на отделенном интервале, но у метода половинного деления, как правило, большое число итераций и времени затрачиваемого на одну итерацию. Время одной итераций зависит от того сколько раз вычисляется функция, если это требуется его производная на одну итерацию. Например, на методе касательных помимо функции рассчитывается ещё и производная. Если же сравнивать количество итерации, то всё зависит от вида функции. В нашем случае меньшая количество итераций дает метод хорд.

Тема №2 Численные решения систем линейных

алгебраических уравнений (СЛАУ)

Задача:

Решить СЛАУ с точностью е=0,001.Дана система:

Найти х1,х2,х3,х4.

Решение:

Матрица А:

Вводим в ячейках А2-D5

-0,52	-0,32	0,03	0
0,11	-1,26	-0,36	0
0,12	0,08	-1,14	-0,24
0,15	-0,35	-1,18	-1

Вектор свободных коэффициентов В:

Вводим в ячейках G2-G6

-0,44

-1,42

0,83

1,42

Прямые(точные) методы

Метод Крамера

Метод Крамера является прямым методом. Решение представляется в виде:

Для нахождения определителей используется стандартная математическая функция МОПРЕД.

Сделали 4 копий исходной матрицы и заменили каждой из копий i-той столбцы вектором свободных коэффициентов.

1)

-0,44	-0,32	0,03	0
-1,42	-1,26	-0,36	0
0,83	0,08	-1,14	-0,24
1,42	-0,35	-1,18	-1

-0,52	-0,44	0,03	0
0,11	-1,42	-0,36	0
0,12	0,83	-1,14	-0,24
0,15	1,42	-1,18	-1

3)

-0,52	-0,32	-0,44	0
0,11	-1,26	-1,42	0
0,12	0,08	0,83	-0,24
0,15	-0,35	1,42	-1

4)

-0,52	-0,32	0,03	-0,44
0,11	-1,26	-0,36	-1,42
0,12	0,08	-1,14	0,83
0,15	-0,35	-1,18	1,42

Вычислили определитель главной матрицы и дополнительных матриц с помощью функции МОПРЕД.

Главная матрица:=МОПРЕД(A2:D5). 0,608842

1)0,043796

2)0,74721012

3)-0,20031

4)-0,88314617

И каждый дополнительный определитель поделили на главный определителью