Решение.

Пусть  - первый член исходной геометрической прогрессии.

Тогда второй член прогрессии - , а третий - , где  - знаменатель прогрессии.

После уменьшения на 8 второго члена, исходный ряд чисел принимает вид:

По условию эти числа также составляют геометрическую прогрессию. Пусть  - знаменатель этой прогрессии. Тогда должно выполняться равенство:  (мы выразили третий член новой прогрессии через первый член  и знаменатель ).

Из записанного уравнения после сокращения на  и извлечения квадратного корня получаем:

.

Так как по условию , то .

Это значит, что либо , либо .

Очевидно, выполнение первого равенства невозможно, так как в этом случае для второго члена новой прогрессии можно было бы записать:

 - противоречие.

Значит .

Выразим второй член новой прогрессии через первый при данном условии:

После уменьшения третьего члена новой прогрессии на 25 получаем ряд:

.

Так как по условию этот ряд составляет арифметическую прогрессию, то

 (мы нашли разность прогрессии двумя способами и приравняли их).

Учитывая, что , получаем:

Составляем и решаем систему из двух уравнений:

Первое уравнение итоговой системы является квадратным. Его решаем через дискриминант:

Тогда

Так как по условию , то нам подходит лишь второй корень. Таким образом, .

Тогда из второго уравнения системы получаем первый член исходной прогрессии:

.

Записываем первые три члена прогрессии:

1, 4, 16.

Их сумма равна 21.

Ответ: 21.

 

Задача В7. Найдите произведение суммы корней уравнения  на их количество.

Решение.

Преобразуем исходное уравнение:

Введем замену . Получаем:

Корни последнего уравнения:

.

Тогда

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня. Находим произведение суммы этих корней на их количество:

.

Ответ: 16.

 

Задача В8. Найдите количество корней уравнения .

 

Решение.

Решить это уравнение аналитически невозможно, так как оно относится к классу трансцендентных уравнений. Однако для определения количества корней решение искать вовсе необязательно. Достаточно решить данное уравнение графически, то есть изобразить на координатной плоскости функции  и , найти точки их пересечения и подсчитать количество этих точек.

Функция  - -периодическая функция, кроме того, значения этой функции лежат в интервале . В точке  функция принимает значение . Этого, в принципе, достаточно для построения схематического графика этой функции.

Функция  распадается на две функции:

Каждая из полученных функций является линейной, проходящей через начало координат. Причем, при  значение функции .

Строим графики указанных функций в одной координатной плоскости:

Очевидно, что при  и при , точек пересечения у графиков функций точно не будет, так как при указанных значениях , значения функции  превышают 1.

Как видно из графика, заданные функции имеют 22 точки пересечения. Заметим, что задачу можно было решить, рассматривая лишь значения , так как функции, входящие в состав уравнения четные, а значит, их графики симметричны относительно оси ординат.

Ответ: 22

 

Задача В9. Найти сумму целых решений неравенства .