Індивідуальні завдання по математичній статистиці
Основи статистичного опису.
До рішення задач необхідно приступити після вивчання основних положень про вибірку із генеральної сукупності, методів обчислення статистик та їх надійних інтервалів, висунення та перевірки гіпотез про нормальний закон розподілу за допомогою критерію Пірсона.
Приклад 1. На основі вибірки (n=100), приведеної в таблиці 3:
а)
побудувати статистичну функцію розподілу
,
гістограму та полігон частот;
б)
обчислити вибіркові середні
і
та побудувати їх надійні інтервали при
надійній ймовірності γ=0,95;
в) висунути гіпотезу відносно теоретичного закону розподілу генеральної сукупності F(x) та перевірити її правдоподібність при значимості α=0,05.
Дані взяти з таблиці 3 за двома останніми цифрами залікової книжки.1
Таблиця 3
1 |
-N, 17 |
N, 64 |
0,65 |
(N+2), 45 |
0,25 |
-1,43 |
-(N+1),54 |
(N-2),15 |
(N+1),17 |
N,13 |
1,(N+2) |
-2,(N+3) |
2,17 |
-5,16 |
4,8 |
3,27 |
1,41 |
-4,25 |
N,13 |
N,48 |
-N,24 |
(N+1),15 |
0,75 |
-(N+1),17 |
0,24 |
1,29 |
2,28 |
N,25 |
2,13 |
-N,75 |
N,34 |
-(N+1),25 |
(N-1),13 |
3,24 |
-2,28 |
N,31 |
-3,15 |
2,15 |
-0,18 |
-N,23 |
0,13 |
-2,N |
1,2 |
1,34 |
-1,75 |
N,14 |
1,17 |
N,11 |
N,11 |
3,25 |
-2,15 |
2,19 |
-N,3N |
2,47 |
-3,24 |
2,65 |
1,37 |
0,71 |
-1,12 |
0,15 |
-N,13 |
N,12 |
N,27 |
-N,12 |
3,54 |
-1,95 |
3,24 |
3,39 |
0,17 |
-3,,61 |
(N+1),14 |
0,95 |
2,43 |
-3,57 |
N,14 |
N,(N+1) |
-2,17 |
3,75 |
N,28 |
-N,35 |
-(N+2),15 |
1,69 |
3,62 |
-N,(N+1) |
0,74 |
1,47 |
2,73 |
N,27 |
-N,13 |
2,69 |
-(N-1),12 |
(N+3),42 |
0,16 |
1,67 |
3,44 |
2,17 |
N,N |
-N,11 |
0,41 |
|
|
|
|
|
Основи дисперсійного аналізу
Дисперсійний аналіз передбачає оцінку результатів експериментів на які можуть впливати від одного до декількох факторів та відбір найбільш значимих факторів по критерію Фішера. До оцінки факторів необхідно засвоїти методику визначення основних та залишкових дисперсій, висунення гіпотез та перевірку їх суттєвості.
Приклад 2. Перевірити за допомогою однофакторного дисперсійного аналізу суттєвість впливу фактора А на випадкову величину Х, якщо єкпериментально отримані по 4 значення хі на трьох рівнях фактора А. Перевірку гіпотез виконати на рівні значимості α=0,05, дані взяти з таблиці 4.
Таблиця 4
Варіант |
Рівень фактора |
Значення хі |
|||
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
2.1 |
А1 А2 А3 |
20,1 28,1 35,2 |
23,5 27,5 34,5 |
25,3 31,2 33,3 |
24,0 29,6 35,2 |
2.2 |
А1 А2 А3 |
17,3 26,6 34,5 |
20,2 28,1 39,3 |
21,0 21,1 36,6 |
19,9 28,3 41,3 |
2.3 |
А1 А2 А3 |
18,1 25,2 30,6 |
16,3 27,1 31,8 |
20,3 23,3 33,2 |
19,7 24,9 32,7 |
2.4 |
А1 А2 А3 |
18,0 25,2 31,2 |
20,0 27,3 32,9 |
23,1 26,9 35,8 |
20,4 27,7 34,5 |
2.5 |
А1 А2 А3 |
19,2 23,5 28,6 |
18,8 24,0 29,0 |
20,1 24,2 28,6 |
17,6 22,1 27,8 |
2.6 |
А1 А2 А3 |
16,7 17,8 25,5 |
16,8 18,1 28,1 |
16,3 17,4 29,1 |
15,6 17,0 29,5 |
2.7 |
А1 А2 А3 |
17,4 16,9 23,7 |
16,0 16,7 23,2 |
17,7 19,8 22,9 |
16,8 16,4 25,5 |
2.8 |
А1 А2 А3 |
18,4 19,0 23,5 |
17,8 29,4 24,7 |
21,1 24,3 26,2 |
16,1 19,2 25,0 |
2.9 |
А1 А2 А3 |
21,0 24,0 26,3 |
22,1 25,2 27,8 |
19,9 23,2 24,3 |
25,1 24,6 27,7 |
2.10 |
А1 А2 А3 |
23,2 26,0 27,5 |
21,0 25,1 28,2 |
24,0 27,2 28,1 |
23,0 25,0 27,3 |
2.11 |
А1 А2 А3 |
17,6 22,3 25,8 |
18,1 24,1 26,9 |
20,2 21,4 24,3 |
19,8 23,2 26,1 |
2.12 |
А1 А2 А3 |
19,1 22,2 25,8 |
18,7 23,5 26,0 |
20,8 24,6 27,5 |
21,4 23,8 28,3 |
2.13 |
А1 А2 А3 |
19,0 22,1 25,8 |
18,7 23,5 26,0 |
20,8 24,7 27,5 |
21,4 25,8 28,3 |
2.14 |
А1 А2 А3 |
21,0 23,5 26,9 |
21,5 24,0 27,5 |
20,8 24,1 26,6 |
22,2 25,0 27,9 |
2.15 |
А1 А2 А3 |
18,3 20,8 27,5 |
19,0 23,2 26,0 |
19,2 23,2 26,8 |
18,6 21,7 25,5 |
2.16 |
А1 А2 А3 |
18,2 27,5 34,1 |
19,6 28,3 36,1 |
20,1 29,1 37,2 |
22,2 30,4 33,8 |
2.17 |
А1 А2 А3 |
19,0 27,7 35,5 |
18,1 26,5 34,6 |
24,1 29,1 34,2 |
17,6 28,1 38,1 |
2.18 |
А1 А2 А3 |
19,5 25,5 32,1 |
18,6 24,3 38,0 |
20,2 24,5 37,0 |
21,0 29,1 35,6 |
2.19 |
А1 А2 А3 |
19,6 24,3 29,2 |
21,2 25,3 31,3 |
18,3 26,3 31,1 |
22,0 25,2 32,2 |
2.20 |
А1 А2 А3 |
17,8 23,2 28,1 |
18,1 23,2 28,0 |
16,3 23,3 26,6 |
19,0 23,0 26,2 |
2.21 |
А1 А2 А3 |
16,8 17,9 21,2 |
16,4 18,1 21,4 |
15,9 17,6 20,9 |
15,7 17,4 20,3 |
2.22 |
А1 А2 А3 |
17,8 18,9 22,6 |
18,5 18,7 23,1 |
18,4 21,1 22,9 |
16,9 18,7 25,2 |
2.23 |
А1 А2 А3 |
20,9 24,3 27,6 |
21,6 22,0 27,8 |
20,8 24,1 28,7 |
22,1 25,3 29,1 |
2.24 |
А1 А2 А3 |
20,6 24,6 26,7 |
21,2 25,6 28,0 |
20,8 24,2 27,1 |
23,0 25,6 28,2 |
2.25 |
А1 А2 А3 |
21,1 24,8 27,2 |
20,0 25,1 26,7 |
20,7 23,8 25,1 |
21,2 25,1 26,7 |
2.26 |
А1 А2 А3 |
17,2 21,2 24,6 |
18,1 23,4 27,2 |
17,9 21,4 24,7 |
18,0 22,8 25,5 |
2.27 |
А1 А2 А3 |
21,2 24,5 27,8 |
22,0 24,0 26,9 |
22,1 26,2 28,8 |
20,8 24,5 29,5 |
2.28 |
А1 А2 А3 |
19,9 22,4 27,1 |
21,0 23,5 26,8 |
20,8 24,6 29,8 |
20,4 24,0 28,9 |
2.29 |
А1 А2 А3 |
20,0 23,1 26,2 |
20,8 22,8 26,9 |
20,1 23,7 28,0 |
21,5 24,2 27,3 |
2.30 |
А1 А2 А3 |
16,2 21,3 25,1 |
18,4 22,4 26,0 |
19,1 21,9 26,6 |
18,9 22,0 24,5 |
Приклад 3. Оцінити на рівні значимості α=0,05 вплив факторів А і В на випадкову величину Х, якщо експериментально отримані значення xij (i=1,m; j=1,n) для m рівнів фактора А і n-рівнів фактора В (табл.5)
Таблиця 5
№ варіанта |
Вj Ai |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
B6 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
3.1 |
A1 A2 A3 |
8 11 13 |
12 10 11 |
8 12 8 |
11 9 7 |
11 14 12 |
|
|
3.2 |
A1 A2 A3 A4 |
5 8 11 12 |
7 8 12 11 |
6 9 11 12 |
6 7 10 11 |
|
|
|
3.3 |
A1 A2 A3 |
8 7 6 |
11 10 8 |
9 9 10 |
10 11 12 |
9 8 7 |
12 12 10 |
|
3.4 |
A1 A2 A3 A4 |
2 4 7 8 |
7 9 10 13 |
9 10 11 15 |
10 11 16 17 |
|
|
|
3.5 |
A1 A2 A3 A4 A5 |
1 4 3 5 7 |
2 4 6 7 7 |
2 3 3 6 9 |
3 4 6 8 10 |
|
|
|
3.6 |
A1 A2 A3 |
6 4 7 |
8 6 9 |
7 5 8 |
3 8 9 |
9 8 10 |
|
|
3.7 |
A1 A2 A3 A4 |
-1 0 5 3 |
-2 2 3 3 |
0 3 3 7 |
0 4 6 7 |
|
|
|
3.8 |
A1 A2 A3 |
9 12 14 |
13 11 12 |
9 13 9 |
12 10 8 |
12 15 13 |
|
|
3.9 |
A1 A2 A3 A4 |
1 2 3 4 |
6 9 12 13 |
7 9 13 12 |
8 10 12 13 |
7 8 11 14 |
|
|
3.10 |
A1 A2 A3 |
9 8 9 |
10 11 9 |
11 10 11 |
12 12 13 |
10 9 8 |
|
|
3.11 |
A1 A2 A3 A4 |
5 5 8 9 |
8 11 10 16 |
10 11 12 16 |
11 12 17 18 |
|
|
|
3.12 |
A1 A2 A3 A4 A5 |
0 3 2 4 6 |
1 3 5 6 6 |
1 2 2 5 8 |
4 3 5 7 9 |
|
|
|
3.13 |
A1 A2 A3 |
7 5 8 |
9 6 10 |
9 6 9 |
4 9 10 |
1 9 11 |
|
|
3.14 |
A1 A2 A3 A4 |
3 5 5 9 |
2 3 3 4 |
0 4 1 3 |
-2 0 -1 0 |
|
|
|
3.15 |
A1 A2 A3 A4 |
0 1 6 4 |
-1 3 4 3 |
1 4 4 8 |
1 5 7 8 |
|
|
3.16 |
A1 A2 A3 A4 |
4 6 6 9 |
3 4 4 5 |
1 5 2 4 |
-1 1 0 2 |
|
|
3.17 |
A1 A2 A3 |
10 13 15 |
14 12 13 |
10 14 10 |
13 11 0 |
13 14 16 |
|
3.18 |
A1 A2 A3 A4 |
7 10 13 14 |
8 10 14 13 |
9 11 13 14 |
8 9 12 13 |
|
|
3.19 |
A1 A2 A3 |
10 9 8 |
11 12 10 |
13 11 12 |
12 13 14 |
11 10 9 |
14 15 12 |
3.20 |
A1 A2 A3 A4 |
4 6 9 10 |
9 11 12 17 |
11 12 13 17 |
12 13 18 19 |
|
|
3.21 |
A1 A2 A3 A4 A5 |
-1 2 1 3 5 |
0 2 4 5 5 |
0 1 1 4 7 |
3 2 4 6 8 |
|
|
3.22 |
A1 A2 A3 |
8 6 9 |
10 7 11 |
9 7 10 |
5 10 11 |
2 10 12 |
11 12 12 |
3.23 |
A1 A2 A3 A4 |
0 1 6 4 |
-1 3 4 3 |
1 4 4 8 |
1 5 7 8 |
|
|
3.24 |
A1 A2 A3 A4 |
5 7 7 10 |
4 5 5 6 |
2 6 3 3 |
0 2 1 3 |
|
|
3.25 |
A1 A2 A3 |
10 13 15 |
14 12 13 |
10 14 10 |
13 11 9 |
13 16 14 |
|
3.26 |
A1 A2 A3 A4 |
8 11 14 15 |
9 11 15 14 |
10 12 14 16 |
9 10 13 14 |
|
|
3.27 |
A1 A2 A3 |
11 10 9 |
12 13 11 |
14 12 13 |
13 14 15 |
12 11 10 |
15 16 13 |
3.28 |
A1 A2 A3 A4 |
1 3 6 7 |
6 8 10 14 |
8 9 10 14 |
9 10 15 16 |
|
|
3.29 |
A1 A2 A3 A4 A5 |
1 4 3 5 7 |
2 4 6 7 7 |
2 3 3 6 9 |
5 4 6 8 10 |
|
|
3.30 |
A1 A2 A3 |
11 13 16 |
15 12 14 |
11 14 11 |
14 11 10 |
13 16 15 |
|