2.2 Принятие решений в условиях неопределенности и риска

Макаронная фабрика «Добров» изготавливает макароны на продажу в магазины. Себестоимость одной пачки макарон (0,5 кг) составляет 2,1 грн. Цена продажи - 3,2 грн.

Таблица 2.2.1 – Взаимосвязь спроса товара и частоты его приобретения

Спрос за сутки, ед.	20	22	25	26	30
Частота	6	12	14	14	5

Если макароны изготовлены, но не проданы, то дополнительные убытки составляют 0,50 грн. за единицу.

Сделать вывод, сколько необходимо выпускать продукции по каждому правилу, если α=0,7.

Решение

Для каждого из возможных значений существует лучшая альтернатива с точки зрения вероятных прибылей (табл. 2.2.2). Отклонение от этих альтернатив приводит к снижению прибылей из-за превышения предложения над спросом или неполного удовлетворения спроса. Предприятию нужно определить, какое количество продукции следует выпустить, чтобы получить наибольшую прибыль. Решение зависит от ситуации на рынке, т.е. от конкретного количества потребителей. Конкретное количество потребителей заранее неизвестно и может быть пяти вариантов: S₁, S₂, S₃, S₄, S₅. Возможны пять вариантов выпуска продукции предприятием: А₁, А₂, А₃, А₄, А₅. Каждой паре, которая зависит от состояния среды - S_j и варианта решения - A_i, соответствует значение функционала оценивания - V(A_i, S_j), характеризующего результат действий.

Таблица 2.2.2 - Прибыль от реализации (матрица прибыли), грн.

Варианты, Аi	Возможный спрос, Sj
	20	22	25	26	30
20	(3,2-2,1) · 20 = 22	(3,2-2,1) · 20 = 22	22	22	22
22	3,2 · 20 – 2,1· 22 - 2 · 0,5 = 16,8	(3,2-2,1) ·2 = 24,2	24,2	24,2	24,2
25	3,2 · 20 – 2,1 · 25 - 5 · 0,5 = 9	3,2· 22-2,1· 25-3· 0,5=16,4	(3,2-2,1) · 25=27,5	27,5	27,5
26	3,2·20-2,1·26-6·0,5=6,4	3,2·22-2,1·26-4·0,5=13,8	3,2·25-2,1·26-1·0,5=24,9	(3,2-2,1) ·26=28,6	28,6
30	3,2·20-2,1·30-10·0,5= -4	3,2·22-2,1·30-8·0,5=3,4	3,2·25-2,1·30-5·0,5=14,5	3,2·26-2,1·30-4·0,5=18,2	(3,2-2,1) ·30=33
Вероятность	0,1 (6/51)	0,2(12/51)	0,3	0,3	0,1

Определим оптимальную альтернативу выпуска продукции с точки зрения максимизации прибыли с помощью критериев Байеса в условиях известных вероятностей состояний, Лапласа, Вальда, Сэвиджа в условиях полной неопределенности и критерия Гурвица.

Таблица 2.2.3 - Выбор оптимального решения по критерию Байеса, грн.

Варианты, Аi	Возможный спрос, Sj					V(Ai, Sj) · Pj	maxi{V(Ai, Sj) · Pj}
	20	22	25	26	30
20	22	22	22	22	22	22 · 0,1 + 22 · 0,2 + 22 · 0,3 + 22 · 0,3 +22 · 0,1 = 22
22	16,8	24,2	24,2	24,2	24,2	16,8 · 0,1 + 24,2 · 0,2 + 24,2 · 0,3 + 24,2 · 0,3 + 24,2 · 0,1 = 23,46	А2
25	9	16,4	27,5	27,5	27,5	23,43
26	6,4	13,8	24,9	28,6	28,6	22,31
30	-4	3,4	14,5	18,2	33	13,39
Вероятность	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1	-	-

Так как оптимальная альтернативы выпуска продукции с точки зрения максимизации прибыли, то есть функционал оценки, имеет положительный ингредиент - для решения задачи используем соответствующие формулы:

для ; (2.2.1)

для . (2.2.2)

По критерию Байеса оптимальным будет альтернативное решение А₂, поскольку оно предусматривает максимальный ожидаемый доход в размере 23,46 грн.

Критерий Лапласа характеризуется неизвестным распределением вероятностей на множестве состояний среды и основывается на принципе «недостаточного обоснования», который означает: если нет данных для того, чтобы считать одно из состояний среды вероятным, то вероятности состояний среды следует считать равными.

Оптимальную альтернативу по критерию Лапласа можно найти по формулам:

для ; (2.2.3)

для . (2.2.4)

Расчеты приведены в табл. 2.2.4.

Таблица 2.2.4 - Выбор оптимального решения по критерию Лапласа, грн.

Варианты, Аi	Возможный спрос, Sj						maxi{1/nV(Ai, Sj)}
	20	22	25	26	30
20	22	22	22	22	22	1 / 5 · (22+22+22+22+22) = 22
22	16,8	24,2	24,2	24,2	24,2	1 / 5 · (16,8+24,2+24,2+24,2+24,2) = 22,72	А2
25	9	16,4	27,5	27,5	27,5	1 / 5 · (9+16,4+27,5+27,5+27,5) = 21,58
26	6,4	13,8	24,9	28,6	28,6	1 / 5 · (16,4+13,8+24,9+28,6+28,6) = 20,46
30	-4	3,4	14,5	18,2	33	1 / 5 · (-4 + 3,4 + 14,5 + 18,2 + 33) = 13,02
Вероятность	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1	-	-

Согласно критерию Лапласа оптимальным также будет решение А₂.

Критерий Вальда считается самым осторожным из критериев. Оптимальное альтернативное решение по критерию Вальда определяется следующим образом:

для ; (2.2.5)

для . (2.2.6)

Расчеты по критерию Вальда приведены в табл. 2.2.5.

Таблица 2.2.5 - Выбор оптимального решения по критерию Вальда

Варианты, Аi	Возможный спрос, Sj					mіnj{V(Ai, Sj)}	maxi mіnj{V(Ai, Sj)}
	20	22	25	26	30
20	22	22	22	22	22	22	А1
22	16,8	24,2	24,2	24,2	24,2	16,8
25	9	16,4	27,5	27,5	27,5	9
26	6,4	13,8	24,9	28,6	28,6	6,4
30	-4	3,4	14,5	18,2	33	-4

По критерию Вальда оптимальным будет альтернативное решение А₁.

Для того чтобы применить критерий Сэвиджа, нужно построить матрицу риска как линейное преобразование функционала оценивания.

Для построения матрицы риска используются следующие формулы:

для (2.2.7)

для (2.2.8)

Результаты формирования матрицы риска приведены в табл. 2.2.6.

Таблица 2.2.6 - Матрица риска, тыс. грн.

Варианты, Аi	Матрица доходов (V(Ai, Sj))					Матрица риска (Rij)
	20	22	25	26	30	20	22	25	26	30
20	22	22	22	22	22	22 - 22 = 0,0	24,2 – 22,0 = 2,2	27,5 - 22 = 5,5	28,6-22 = 6,6	33 - 22 = 11
22	16,8	24,2	24,2	24,2	24,2	22 – 16,8 = 5,2	0,0	3,3	4,4	8,8
25	9	16,4	27,5	27,5	27,5	22 - 9 = 13	24,2-16,4=7,8	0,0	1,1	5,5
26	6,4	13,8	24,9	28,6	28,6	22 – 6,4 = 15,6	24,2-13,8=10,4	2,6	0,0	4,4
30	-4	3,4	14,5	18,2	33	22 – (4) = 26	24,2-3,4=20,8	13	10,4	0,0

Согласно приведенным матрицам доходов и риска, применим критерий Сэвиджа к матрице риска по формуле:

. (2.2.9)

Расчеты результатов по критерию Сэвиджа приведены в табл. 2.2.7.

Таблица 2.2.7 - Выбор оптимального решения по критерию Сэвиджа

Варианты, Аi	Возможные потери, Rij					maxj {Rij}	mini maxj {Rij}
	20	22	25	26	30
20	0	2,2	5,5	6,6	11	11
22	5,2	0	3,3	4,4	8,8	8,8	А2
25	13	7,8	0	1,1	5,5	13
26	15,6	10,4	2,6	0	4,4	15,6
30	26	20,8	13	10,4	0	26

По критерию Сэвиджа оптимальным будет альтернативное решение А₂, поскольку его реализация предполагает минимальные потери.

Критерий Гурвица позволяет установить баланс между случаями крайнего оптимизма и крайнего пессимизма с помощью коэффициента оптимизма a, который определяется от 0 до 1 и показывает степень предрасположенности человека, принимающего решения, к оптимизму или пессимизму. Если a = 1, то это свидетельствует о крайнем оптимизм, если a = 0 - крайний пессимизм. По условию задачи a = 0,7.

Оптимальную альтернативу по критерию компромисса Гурвица определим по формулам:

для ; (2.2.10)

для . (2.2.11)

Таблица 2.2.8 - Выбор оптимального решения по критерию компромисса Гурвица

Варианты, Аi	Матрица доходов (V (Ai, Sj))					maxj {V(Ai, Sj)}	minj {V(Ai, Sj)}	·maxj {V(Ai, Sj)} + + (1–) minj{V(Ai, Sj)}	maxi{ · maxj{V   (Ai, Sj)} + (1 – ) × × minj{V(Ai, Sj)}}
	20	22	25	26	30
20	22	22	22	22	22	22	22	0,7 · 22 + (1-0,7) · 22 = 22
22	16,8	24,2	24,2	24,2	24,2	24,2	16,8	0,7 · 24,2 + 0,3 · 16,8 = 21,98	А2
25	9	16,4	27,5	27,5	27,5	27,5	9,0	21,95
26	6,4	13,8	24,9	28,6	28,6	28,6	6,4	21,94
30	-4	3,4	14,5	18,2	33	33,0	-4,0	21,90

Вывод: по большинству критериев оптимальным является производство продукции согласно альтернативному варианту А₂.

Предприятие занимается поставками картона для ящиков. Длина маршрута - 600 км. Себестоимость 1 м³ картона - 130 грн, цена реализации - 220 грн за 1 м³. В зависимости от вместимости транспортных средств предприятие может осуществлять поставки партиями по 15, 20, 25, 30, 35 м³ картона. Цена реализации может колебаться в зависимости от того, на сколько дней опаздывает поставки: без опоздания - 220 грн/м³, на 1 день - 210 грн/м³, на 2 дня - 190 грн/м³, на 3 дня - 170 грн/м³, на 4 дня - 150 грн/м³.

Предприятие несет расходы на доставку на место прибытия в зависимости от объема груза: 15 м³ - 0,9 грн / км, 20, 25 м³ – 1,3 грн / км, 30, 35 м³ - 1,5 грн / км.

Кроме того, предприятие теряет 60 грн. за каждый просроченный день.

На основе статистических данных по анализу предыдущих ситуаций предприятие может оценить вероятности прибытия товара в срок следующим образом: Р₁ (без опоздания) = 0,2; Р₂ (опаздывает на 1 день) = 0,3; Р₃ (опаздывает на 2 дня) = 0,2; Р₄ (опаздывает на 3 дня) = 0,2; Р₅ (Опаздывает на 4 дня) = 0,1.

Предприятие получило заказ на поставку. Нужно определить оптимальную стратегию предприятия.

Решение

Составим платежную матрицу при различных сроках прибытия товара (табл. 2.2.9). Стратегии предприятия будут определяться разным объемом поставок картона (А_i), состоянием внешней среды - ценой товара, которую обозначим через (S_j).

Таблица 2.2.9 - Платежная матрица, грн.

А	Цена
		220	210	190	170	150
A1	15	15 · (220 - 130) - - 0,9 · 600 = 810	15 · (210 - 130) - - 0,9 · 600 - 60 · 1 = 600	240	-120	-480
А2	20	20 · (220 - 130) - 1,3 · 600 = = 1020	760	300	-160	-620
A3	25	1470	1160	600	40	-520
A4	30	1800	1440	780	120	-540
A5	35	2250	1840	1080	320	-440

Сделаем анализ платежной матрицы на отказ от очевидно невыгодных стратегий. В итоге эта матрица приобретет следующий вид (табл. 2.2.10).

Таблица 2.2.10 - Упрощенная платежная матрица

А	Цена
		220	210	190	170	150
A4	30	1800	1440	780	120	-540
A5	35	2250	1840	1080	320	-440

Следовательно, фирме следует выбирать только из стратегий А₄ и А₅. Все другие стратегии отвергнуты потому, что они, очевидно, не выгодны по сравнению с избранными стратегиями.

Оценим стратегии с помощью критерия Байеса.

Таблица 2.2.11 - Выбор оптимального решения по критерию Байеса

А	Объем						V (Ai,Sj) · Pj	Maxи {V (Ai,SJ) · Pj}
		220	210	190	170	150
A4	30	1800	1440	780	120	-540	1800 · 0,2 + 1440 · 0,3 + 780 · 0,2 + + 120 · 0,2 - 540 · 0,1 = 918
A5	35	2250	1840	1080	320	-440	2250 · 0,2 + 1840 · 0,3 + 1080 · 0,2 + 320 · 0,2 + (- 44) · 0,1 = 1238

Как видно из табл. 2.2.11, согласно критерию Байеса оптимальной является пятая стратегия, при которой средний выигрыш предприятия максимален.

Рассчитаем другие показатели количественного оценивания рисков: среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации на основании формул 14.3- 14.8 (табл. 2.2.12).

Таблица 2.2.12 - Определение оптимальной партии поставки

А	Объем						Дисперсия, Dі	Среднеквадратическое отклонение, і	Коэффициент вариации,
		220	210	190	170	150
A4	30	1800	1440	780	120	-540	581076	762,28	83,04
A5	35	2250	1840	1080	320	-440	768656	876,73	70,82
Вероятность, Рі		0,2	0,3	0,2	0,2	0,1	-	-	-

Вывод: Наибольший средний выигрыш можно получить при условии поставки партий картона по 35 м³. Это же условие имеет и меньшее отклонение от ожидаемого результата и меньший риск (70,82 %) неполучения ожидаемой прибыли в размере 876,73 грн.

ООО «Волна» планирует вложить определенную сумму средств в развитие технико-технологической базы с целью увеличения прибыли за счет производства более качественной продукции. Альтернативные варианты развития заданы определенными стратегиями.

Внешнеэкономические условия, которые будут оказывать влияние на показатели эффективности каждой из стратегии, носят вероятностный характер. Величина прибыли предприятия при реализации каждой из стратегий и вероятности проявления внешнеэкономических условий, приведены в табл. 2.2.13.

Таблица 2.2.13 - Прибыль предприятия при реализации каждой из стратегий и вероятности проявления внешнеэкономических условий

Стратегии, Sі	Прибыль при состояниях экономической среды, тыс. грн.
	1	2	3	4	5
S1	19	7	22	14	5
S2	12	24	16	35	48
S3	39	8	5	39	3
S4	18	15	12	32	7
S5	18	27	19	11	14
S6	21	6	16	2	1
Рі	0,66	0,18	0,05	0,07	0,04

Необходимо определить эффективность и рискованность каждой стратегии, и сделать вывод: какую стратегию следует избрать руководству предприятия.

Решение

1. Для обоснования выбора оптимальной с точки зрения прибыльности и рискованности стратегии воспользуемся системой показателей абсолютного и относительного измерения риска, формулы для расчета которых представлены в табл. 2.14.2.

Таблица 2.2.14 – Эффективность стратегий с учетом вероятности наступления

внешнеэкономических условий

Стратегии, Sі	Прибыль при состояниях экономической среды, тыс. грн.					Математическое ожидание, Мі
	1	2	3	4	5
S1	19	7	22	14	5	19*0,66+7*0,18+22*0,05+14*0,07+5*0,04= = 16,08
S2	12	24	16	35	48	17,41
S3	39	8	5	39	3	30,28
S4	18	15	12	32	7	17,7
S5	18	27	19	11	14	19,02
S6	21	6	16	2	1	15,92
Рі	0,66	0,18	0,05	0,07	0,04	-

Как свидетельствуют расчёты, наиболее выгодной является стратегия 3, так как её реализация принесёт предприятию наибольшую среднюю прибыль в размере 30,28 тыс. грн. Наименее привлекательной является стратегия 6.