- •«Математическое программирование»
- •Содержание
- •Введение
- •2. Построение математической модели
- •3. Численный метод решения задачи лп
- •3.1. Симплекс – метод
- •3.2. Алгоритм симплекс-метода для задачи на минимум
- •3.3. Алгоритм симплекс-метода для задачи на максимум
- •Пример решения задачи о раскрое
- •5. Описание программы
- •Список литературы
2. Построение математической модели
Цель: найти план раскроя , обеспечивающий максимальное число комплектов.
Максимизировать нужно число изделий для каждого материала.
где a – изделие; i – способ раскроя; j – материал;
Ограничения будут выглядеть следующим образом:
Запишем условия задачи в виде математических формул.
1. Выберем переменные задачи: x1, x2,…, xn – количество материалов.
2. Составим ограничения задачи: Ограничения по условиям задачи должны обеспечить раскрой материала на изделия в количестве пропорциональном b1, b2,…,bm соответственно.
Так как I – й материал возможно раскроить на ai1 количество изделий, то xi - е единиц I – го материала возможно раскроить на ai1xi количество изделий.
Значит, общее количество изделий из общего числа материалов будет равно сумме:
a11x1 + a21x2+… +an1xn ≥ b1;
Записывая аналогичные условия для изделий, получим:
a11x1 + a21x2+… +an1xn ≥ b1;
a12x1 + a22x2+… +an2xn ≥ b2;
a1mx1 + a2mx2+… +anmxn ≥ bm;
Нельзя забывать очевидно вытекающие из условий задачи ограничения:
X1≥0, X2≥0, …, Xn ≥0
Эти ограничения означают, что отрицательное количество материала Xi не имеет содержательного смысла.
3. Составим целевую функцию. Так как общая длина материала L = C1X1+C2X2+,…,+CnXn, необходимо минимизировать линейную функцию L.
Итак, математическая модель рассмотренной задачи о оптимизации использования материала имеет следующий вид:
Минимизировать L = C1X1+C2X2+,…,+CnXn,
При условиях:
a11x1 + a21x2+… +an1xn ≥ b1;
a12x1 + a22x2+… +an2xn ≥ b2; (3)
a1mx1 + a2mx2+… +anmxn ≥ bm;
X1≥0, X2≥0, …, Xn ≥0.
Или в матричном виде:
cx → min, (4)
Ax ≥ b, x ≥ 0.
3. Численный метод решения задачи лп
3.1. Симплекс – метод
Рассмотрим задачу ЛП в канонической форме:
(5)
……………………… (6)
(7)
Будем предполагать, что (иначе, умножим соответствующее уравнение на -1), уравнения системы (6) линейно независимы, m<n и система (6) -(7) совместна.
При сделанных предположениях можно выбрать m неизвестных (к примеру ) таких, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, не обращался в ноль. Тогда задача (5) - (7) может быть приведена к виду, который называетсяспециальной формой задачи ЛП:
…………………………………….. (8)
Одно из допустимых решений этой задачи можно найти, если переменные положить равными нулю. Такое решение называетсядопустимым базисным решением. Оно имеет вид:
Этому решению соответствует значение целевой функции . Переменныеназываютбазисными, набор переменных называютбазисом, а переменные называютнебазисными или свободными. Число возможных базисов в задаче размерности n с m ограничениями не превосходит величину .
Известно, что каждому допустимому базисному решению соответствует вершина многоугольника допустимых решений и оптимальное решение задачи (при условии его существования) достигается в одной из вершин многоугольника. Поэтому оптимальное решение задачи ЛП находится среди допустимых базисных решений. Существуют рациональные способы последовательного перебора допустимых базисных решений, которые позволяют рассматривать не все допустимые базисные решения, а их минимальное число. К таким методам относится симплекс-метод [1,2,3].