2. Графическое решение задач лп

2.1. Каноническая форма задачи лп

Для численного решения задачи ЛП требуется предварительно привести ее к каноническому виду:

………………………

Каноническая форма (КФ) задачи характеризуется следующими тремя признаками:

1. однородная система ограничений в виде системы уравнений;

2. однородные условия неотрицательности, распространяющиеся на все переменные, участвующие в задаче;

3. минимизация (максимизация) целевой функции.

Известно, что для произвольной задачи ЛП можно построить эквивалентную ей каноническую задачу ЛП (эквивалентность двух задач означает, что оптимальному решению одной задачи соответствует оптимальное решение другой)[1,2,3].

2.2 Пример

Привести задачу к КФ на минимум.

В данной задаче нарушены все три признака КФ.

1. Начнем с преобразования смешанной системы ограничений в систему уравнений. Для этого введем в первое и второе ограничения неотрицательные переменные y_1, y₂, которые называются дополнительными или слабыми. В результате система ограничений запишется в следующем виде:

2. Условия неотрицательности не выполняются только для переменной x₂. Для приведения задачи к однородным условиям неотрицательности можно воспользоваться двумя приемами.

Первый прием. Представим переменную x₂ в виде разности двух неотрицательных переменных: После преобразования системы ограничений и целевой функции получим задачу

Второй прием. Найдем из какого-либо уравнения переменную x₂. Пусть из первого уравнения . Подставим это выражение во все уравнения и в целевую функцию, исключив таким образом переменную x₂ из задачи. Получим

3. Переход к задаче минимизации целевой функции L осуществляется путем введения новой функции из равенства

в первом случае,

во втором случае.

2.3. Общие рекомендации к графическому решению задач лп

1. Графически могут решаться [1]:

1. задачи, заданные в произвольной форме, содержащие не более двух переменных;

2. задачи, заданные в канонической форме, с числом свободных переменных ;

3. задачи в произвольной форме записи, которые после приведения к канонической форме будут содержать не более двух свободных переменных .

2. Основной формой для графического решения является 1-й тип задач. Поэтому, если встречается 2-й или 3-й тип задач, то предварительно их модель должна быть приведена к первому типу.

3. Решение задач 1-го типа выполняется в два этапа:

этап 1 -- построение области допустимых решений;

этап 2 -- построение в допустимой области оптимального решения.

4. При построении области допустимых решений может встретиться один из трех случаев:

а) пустая область – задача не имеет решения из-за несовместности системы ограничений в области допустимых решений;

%\input{p2.pic}

б) выпуклый многоугольник – задача всегда имеет оптимальное решение;

%\input{p1.pic}

в) неограниченная выпуклая многогранная область – в зависимости от направления вектора c (вектора коэффициентов целевой функции L) задача может иметь или не иметь решение. Последнее связано с неограниченностью целевой функции в области допустимых решений.

%\input{p6.pic}

5. Если оптимальное решение существует, то возможен один из трех исходов:

а) оптимальное решение единственное и совпадает с одной из вершин области;

%\input{p3.pic}

б) оптимальные решения соответствуют всем точкам отрезка, соединяющего две вершины области и :

%\input{p4.pic}

в) оптимальные решения соответствуют всем точкам допустимого луча, исходящего из вершины области :

%\input{p5.pic}