7. Задания для самостоятельной работы
7.1. Построить математическую модель задачи
1. Задача Кантаровича о выборе производственной программы.
Имеется
m предприятий, на которых нужно произвести
n продуктов в заданном ассортименте
.
Известна производительность
-го
предприятия в единицу времени, если оно
изготовляет j-й продукт.
Предполагается, что
,
т.е. каждый продукт может производиться
хотя бы на одном предприятии.
Требуется найти время, которое требуется выделить на производство каждого вида продукта на каждом предприятии так, чтобы получить максимальный суммарный объем продукции в заданном ассортименте в единицу времени.
2. Задача об оптимальном плане выпуска продукции.
Номенклатура
выпускаемой предприятием продукции
состоит из n наименований. Пусть
- количество i-го вида
ресурсов,
,
затрачиваемого на производство единицы
продукции j-го вида,
- количество i-го вида
ресурсов, которым располагает предприятие,
-
прибыль, получаемая предприятием при
изготовлении и реализации единицы j-го
вида продукции,
и
- заданные нижняя и верхняя границы по
объему выпуска j-го
вида продукции.
Требуется составить такой план выпуска продукции, который был бы технически осуществим при имеющихся ресурсах всех видов, удовлетворял бы задаваемым ограничениям на выпуски продукции каждого вида и в то же время приносил бы наибольшую прибыль предприятию.
3. Оптимизация межотраслевых потоков.
Пусть имеется
n отраслей хозяйства, каждая из которых
производит только свой один специфический
вид продукции, причем каждый произведенный
вид продукции, используется (в частности,
в нулевом количестве) в производстве
во всех n отраслях. Пусть
-й объем производства в i-ой
отрасли,
- объем продукта i-го
вида для внепроизводственного потребления,
- коэффициент прямых затрат продукции
j-го вида на производстве
в i-ой отрасли единицы
продукции,
- максимально возможный объем производства
в i-ой отрасли,
- требуемое для внепроизводственного
потребления количество продукции i
-го вида,
- стоимость единицы продукции i
-го вида.
Требуется найти
такие возможные в заданных условиях
объемы производства
и такой план выпуска конечной продукции
,
,
при котором максимизируется общая
стоимость произведенного конечного
продукта.
4. Задача о назначениях.
Пусть имеется n различных работ, которые требуется распределить между n различными комплексами АСУ. Известен ожидаемый эффект от использования i-го комплекса при выполнении j-ой работы. Требуется так распределить работы между комплексами АСУ (по одной на каждый), чтобы суммарный эффект от выполнения работ был максимальным.
5. Транспортная задача по критерию времени.
Однородный
скоропортящийся продукт, сосредоточенный
в пунктах отправления в количествах
единиц соответственно, необходимо
доставить в каждый из n пунктов назначения
в количествах
единиц. Время перевоза единицы продукта
из i-го пункта (
)
отправления в j-й пункт
назначения равно
.
Транспортные средства позволяют
выполнить любой объем перевозок.
Определить такие величины перевозок для всех маршрутов (i,j), при которых время выполнения всех перевозок было бы минимальным.
6. Простейшая задача размещения.
Пусть в m пунктах размещены предприятия, производящие некоторый продукт. В рассматриваемых n пунктах потребности в этом продукте равны . Затраты на производство единицы продукта в i-ом пункте равны , возможный максимальный объем производства , затраты на транспортировку единицы продукта из i-го пункта производства в j-й пункт потребления составляют .
Требуется так выбрать объемы производства на предприятиях и составить такой план перевозок, чтобы суммарные затраты были минимальными.
7. Классическая задача о ранце.
Имеется n предметов. Заданы величины: - вес j-го предмета, - ценность j-го предмета. Требуется загрузить ранец, грузоподъемность которого равна A, набором предметов с максимальной суммарной ценностью.
8. Задача о раскрое.
На раскрой
поступает N различных материалов в
количествах
.
Требуется изготовить из них M различных
изделий в количестве, пропорциональном
числам
.
Каждая единица j-го
материала (
)
может быть раскроена P различными
способами, причем использование i-го
способа (
)
дает
единиц k-изделий. Найти план раскроя,
обеспечивающий максимальное число
комплектов.
9. Задача о производстве сложного оборудования.
Планируется
производство сложного оборудования,
каждый комплект которого состоит из N
элементов. Заказы на производство этих
элементов могут быть размещены на M
разных предприятиях. В течении заданного
времени T на i-ом
предприятии можно изготовить
элементов j-го типа.
Требуется распределить заказы по предприятиям так, чтобы число полных комплектов оборудования, изготовленных за время T, было максимально. Планируя производство, необходимо указать, какую часть имеющегося времени T каждое предприятие должно отдать на производство j-го элемента.
10. Задача о выборе оптимального варианта аппаратуры.
Требуется спроектировать специализированное цифровое вычислительное устройство, которое должно выполнять последовательно rматематических операций и в соответствии с этим состоит из rпоследовательных блоков. Имеется l различных вариантов выполнения каждого блока: на электронных лампах, ПП-элементах, феррито-транзисторных элементах, микромодулях,… Заданы ограничения на максимальную стоимость X, максимальные габариты Y и максимальное время производства операций Z. Требуется выбрать вариант, наиболее выгодный с точки зрения поставленных требований.
7.2. Привести задачу ЛП к канонической форме
7.3. Решить задачу ЛП графически
Во всех заданиях
.
7.4. Определить допустимое базисное решение методом искусственного базиса
Во
всех заданиях
7.5. Решить задачу ЛП симплекс-методом
Во всех заданиях .
7.6. Решить задачу ЛП двойственным симплекс-методом
Во всех заданиях .
7.7. Определить задачу, двойственную к исходной
7.8. Используя теоремы двойственности, решить исходную и двойственную задачи
Во всех заданиях .
7.9. Проверить вектор на оптимальность
Во всех заданиях .
7.10. Решить задачу ЦЛП методом Гомори
Во всех заданиях
.
7.11. Решить транспортную задачу методом потенциалов
1. |
|
|
2. |
|
||||||||
12 |
6 |
29 |
19 |
21 |
13 |
4 |
21 |
12 |
8 |
1 |
21 |
|
14 |
3 |
30 |
10 |
10 |
27 |
20 |
8 |
25 |
15 |
23 |
21 |
|
15 |
27 |
28 |
11 |
24 |
16 |
17 |
1 |
11 |
5 |
3 |
23 |
|
1 |
23 |
26 |
15 |
13 |
14 |
23 |
10 |
24 |
6 |
5 |
23 |
|
14 |
14 |
14 |
14 |
14 |
|
22 |
22 |
22 |
11 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
|
|
4. |
|
||||||||
5 |
3 |
24 |
10 |
25 |
24 |
21 |
19 |
11 |
12 |
12 |
24 |
|
30 |
2 |
22 |
16 |
7 |
15 |
26 |
29 |
14 |
1 |
26 |
12 |
|
30 |
24 |
27 |
29 |
10 |
16 |
39 |
1 |
22 |
8 |
25 |
18 |
|
15 |
17 |
21 |
2 |
3 |
24 |
53 |
20 |
40 |
26 |
28 |
16 |
|
12 |
13 |
15 |
15 |
24 |
|
11 |
13 |
26 |
10 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
|
|
6. |
|
||||||||
25 |
28 |
20 |
15 |
7 |
16 |
14 |
25 |
18 |
19 |
23 |
33 |
|
27 |
5 |
11 |
23 |
10 |
12 |
2 |
17 |
16 |
24 |
2 |
25 |
|
1 |
25 |
14 |
16 |
16 |
14 |
29 |
3 |
7 |
15 |
22 |
25 |
|
8 |
6 |
4 |
16 |
18 |
18 |
5 |
20 |
17 |
23 |
10 |
17 |
|
7 |
8 |
4 |
11 |
30 |
|
33 |
11 |
11 |
11 |
34 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
|
|
8. |
|
||||||||
8 |
1 |
19 |
1 |
15 |
18 |
6 |
6 |
5 |
7 |
17 |
16 |
|
8 |
27 |
30 |
7 |
7 |
23 |
15 |
8 |
9 |
6 |
23 |
10 |
|
10 |
20 |
19 |
26 |
20 |
17 |
3 |
14 |
19 |
4 |
20 |
24 |
|
18 |
28 |
25 |
7 |
22 |
22 |
16 |
13 |
11 |
12 |
2 |
60 |
|
21 |
21 |
9 |
9 |
20 |
|
29 |
5 |
35 |
31 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
|
|
10. |
|
||||||||
11 |
10 |
15 |
8 |
7 |
16 |
0 |
11 |
2 |
4 |
6 |
15 |
|
12 |
14 |
29 |
20 |
20 |
15 |
1 |
8 |
7 |
5 |
13 |
9 |
|
18 |
7 |
5 |
25 |
27 |
24 |
14 |
6 |
9 |
3 |
5 |
11 |
|
24 |
4 |
30 |
24 |
26 |
15 |
10 |
14 |
16 |
15 |
17 |
25 |
|
15 |
15 |
15 |
15 |
10 |
|
10 |
5 |
4 |
21 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11. |
|
|
12. |
|
||||||||
3 |
18 |
22 |
7 |
1 |
35 |
5 |
13 |
1 |
2 |
6 |
40 |
|
15 |
2 |
24 |
20 |
4 |
40 |
28 |
3 |
30 |
12 |
30 |
35 |
|
27 |
3 |
7 |
5 |
11 |
15 |
1 |
8 |
22 |
20 |
27 |
25 |
|
12 |
28 |
8 |
30 |
31 |
25 |
4 |
17 |
15 |
24 |
19 |
10 |
|
32 |
28 |
14 |
16 |
25 |
|
20 |
12 |
18 |
50 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
