7.7.6. Зависимость пространственных промежутков от движения

Многомерное движение есть совокупность одномерных и вопрос зависимости размеров (пространственных промежутков) от движения удобно рассматривать как совокупность двух вопросов:

а) зависимость размеров в направлении, нормальном к скорости тела ;

б) зависимость размеров в направлении, параллельном направлению .

1. В любом направлении, нормальном к скорости, изменение размеров (если оно есть) со скоростью должно быть одинаковым, т.к. ни одно из этих направлений не выделено перед другими. Так, покоящееся круговое кольцо при переходе к ИСО, движущейся перпендикулярно плоскости кольца, в принципе может только сжаться или расшириться, но сохранит круговую форму и останется перпендикулярным скорости. Рассмотрим два одинаковых соосных кольца 1 и 2. Кольцо 1 покоится, кольцо 2 – дви жется к нему вдоль оси Х. Если размеры кольца 2 уменьшились, то (при определённой скорости и степени уменьшения) оно пройдет внутри кольца 1. Но тогда в ИСО, неподвижной относительно кольца 2, кольцо 1 должно уменьшиться и пройти внутри кольца 2. Согласно постулату 1 Эйнштейна факт нахождения одного кольца внутри другого не зависит от ИСО. Возникшее противоречие разрешается единственным образом: размеры колец не зависят от того, движутся они или покоятся, т. е. размеры тела в направлении, перпендикулярном направлению движения, совпадают с его размерами в состоянии покоя.

2. Рассмотрим две ИСО: К(o, x, y, t) и К'( ), движущуюся относительно К со скоростью . Вдоль оси Х в ИСО К расположим покоящийся стержень длины . Для измерения длины стержня поместим в его левом конце источник света, посылающий луч в направлении правого конца, где установлено зеркало. Рядом с источником установлен приемник света, регистрирующий приход отраженного луча. По часам K' свет дойдет от левого конца к правому за время и обратно за . Тогда . По часам К свет дойдет от левого конца к правому за время t₁, догоняя уходящий конец, значит ( – длина стержня в К). Обратно свет движется навстречу приемнику в течении t₂ и . Тогда и (*). Подставляя в (*), получим: или , т. е. .

Таким образом, размеры тел в направлении движения сокращаются. Этот эффект называют лоренцевым сокращением длины и он свидетельствует о зависимости пространственных промежутков от движения.

Собственные размеры – размеры тела в ИСО, в которой оно покоится.

• Собственные размеры являются максимальными.

7.7.7. Преобразования Лоренца

Рассмотрим две ИСО: K и K', движущуюся относительно К со скоростью . Пусть наблюдатель в K' в момент t' фиксирует некоторое событие в точке (x', y', z'). Это же событие наблюдатель в K фиксирует в момент t в точке (x, y, z). Координата x' измеряется длиной отрезка O'x' в К'. Он ориентирован вдоль направления движения К' и, с точки зрения наблюдателя К, его длина . При этом в момент t lОО'l = vt. Тогда , т. е. (1) или (2), где .

Координаты y' и z' измеряются отрезками, перпендикулярными движению, поэтому y' = y; z' = z. Полученные соотношения задают правила перехода из К в К'. Переход из К в К формально выражается заменой v на –v, а x', y', z', t на x, y, z, t. Тогда .

Из (2) получим

или . Для перехода из К в К' заменим v; х; t на –v; x'; t'.

Тогда ; .

Таким образом, для систем К и К' при условии параллельности их осей и относительном движении со скоростью v вдоль оси x (x') получаем правила перехода от одной ИСО к другой:

1. От К к К': (3).

2. От К' к К: (4).

• (3) называют прямыми преобразованиями Лоренца, (4) – обратными.

Преобразования Лоренца выражают релятивистские представления о пространстве и времени, в основе которых лежат постулаты Эйнштейна. При из них получаются преобразования Галилея. При значении v, близкой к с, из преобразований Лоренца вытекают следствия:

а) течение времени зависит от движения и не абсолютно (так как t  t'). Проявляется это в лоренцевом сокращении времени;

б) понятие одновременности относительно и имеет смысл только при указании ИСО.

Действительно, пусть в ИСО К в один и тот же момент времени t произошли два события в точках с координатами (x₁; y₁; z₁) и (x₂; y₂; z₂). Тогда в ИСО К' эти события будут зафиксированы в моменты времени и . Значит, t'₁  t'₂ при х₁  х_2, т. е. в K' эти события произойдут неодновременно;

в) размеры (пространственные промежутки) при преобразованиях Лоренца изменяются;

г) для релятивистских движений закон сложения скоростей отличается от классического. Если в ИСО К компонента скорости движущейся вдоль Х точки , то в K' (при v  c) компонента скорости будет: . Из  ; из  . Тогда или (5).

Тогда классическому закону сложения скоростей из (5) соответствует  – релятивистский закон сложения скоростей.

При v<<c и релятивистский закон переходит в классический. Если U' = c, то , т. е. U = U' = c и постулат 2 Эйнштейна не нарушается;

д) ускорения тел в разных ИСО (движущихся друг относительно друга) различны.