7.3.5. Тонкие линзы

В данном параграфе вопросы рассматриваются при следующих допущениях:

1) Луч света абсолютно прямолинейный, тонкий и не расширяется ни при каких условиях;

2) Луч распространяется в вакууме (n = 1) и в прозрачном веществе (n > 1) линзы (как правило – стекло);

3) При пересечении лучи не претерпевают изменений и не меняют линий своего распространения.

Гомоцентрические лучи – лучи, проходящие через одну точку.

Сходящиеся лучи – гомоцентрические лучи, распространяющиеся к точке пересечения.

Расходящиеся лучи – гомоцентрические лучи, распространяющиеся из точки пересечения.

Линза – прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями.

• Одна из поверхностей может быть плоской (радиус кривизны ).

Тонкая линза – линза, толщина которой пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны её поверхностей.

Выпуклая (вогнутая) линза – линза, толщина которой в середине больше (меньше), чем по краям.

Собирающая (рассеивающая) линза – линза, преобразующая параллельные лучи в сходящиеся (расходящиеся).

• Из опытов известно, что выпуклые линзы – собирающие, вогнутые – рассеивающие.

Собирающие (рассеивающие) линзы и их условное обозначение показаны на рис. 1 (2).

Рис. 1 Рис. 2

Главная оптическая ось линзы – прямая, проходящая через центры кривизны сферических поверхностей линзы.

Оптический центр линзы – точка главной оптической оси линзы, равноотстоящая от точек пересечения данной оси со сферическими поверхностями линзы.

• Для тонкой линзы все три вышеуказанные точки сливаются в одну (т.О).

Главная плоскость линзы – плоскость, перпендикулярная главной оптической оси линзы и проходящая через оптический центр линзы.

Побочная оптическая ось линзы – линия, проходящая через оптический центр линзы и не совпадающая с главной оптической осью (их бесконечно много).

Пусть на собирающую (рассеивающую) линзу падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси – рис. 3 (4). Свойства линз таковы, что эти лучи (их продолжения) собираются в некоторой точке F.

Рис. 3 Рис. 4

Главный фокус линзы – расположенная на главной оптической оси точка пересечения преломленных сходящихся (продолжения расходящихся) лучей, полученных вследствие падения на линзу пучка лучей, параллельных главной оптической оси.

• Ход луча обратим, т.е. собирающая (рассеивающая) линза преобразует расходящиеся из фокуса (сходящиеся в фокусе) лучи в параллельные – рис. 3 (4).

• Каждая линза имеет два фокуса F1 и F2, симметричные относительно оптического центра линзы.

• Фокусы собирающей линзы – действительные (образованы пересечением лучей), рассеивающей – мнимые (образованы пересечением продолжений лучей).

Побочный фокус линзы – точка пересечения преломленных сходящихся (продолжений расходящихся) лучей, полученных вследствие падения на линзу под углом к главной оптической оси пучка параллельных лучей рис. 5 (6).

Рис. 5 Рис. 6

• Побочных фокусов бесконечно много и они попарно-симметричны относительно оптического центра линзы.

Фокусное расстояние (f) – расстояние от оптического центра линзы до её фокуса.

Фокальная плоскость линзы – плоскость, образованная фокусами линзы (главным и побочными).

• Линза имеет две фокальные плоскости, расположенные параллельно главной плоскости линзы на равном расстоянии f от неё.

Свет, излученный или отраженный поверхностью предмета, достигает глаза, и мы видим предмет. В геометрической оптике каждую точку предмета считают центром расходящегося пучка лучей, т.е. предмет – совокупность центров расходящихся лучей.

• С позиций геометрической оптики предмет эквивалентен своей поверхности.

Пусть гомоцентрический пучок лучей с центром преломился в линзе Л и превратился в гомоцентрический пучок лучей с центром .

Оптическое изображение точки – центр гомоцентрического пучка лучей, которые до преломления также были гомоцентрическими с центром .

Оптическое изображение предмета – совокупность оптических изображений точек поверхности предмета.

• Во многих задачах достаточно рассмотреть изображение одной точки поверхности предмета.

Рассмотрим линзу Л, предмет (т. ) и его изображение (т. ). При этом f – фокусное расстояние линзы, a (b) – расстояние от оптического центра линзы (т.О) до проекции предмета (изображения) на главную оптическую ось (в дальнейшем – расстояние до предмета (изображения)). Изображение удобно строить с помощью трех лучей (рис. 7 и рис. 8):

Рис. 7 Рис. 8

луч 1 (проходит через оптический центр линзы т.О) – в процессе преломления не меняет своего направления;

луч 2 (падает на линзу параллельно главной оптической оси) – после преломления он (или его продолжение) проходит через главный фокус линзы F;

луч 3 (падает на линзу, проходя через главный фокус F) – после преломления параллелен главной оптической оси (при построении изображения в рассеивающих линзах не применяют).

В зависимости от расположения предмета изображение для собирающей линзы:

1) – мнимое, прямое, увеличенное (рис. 9);

2) – изображения нет (лучи параллельны) (рис. 10);

3) – действительное, перевернутое, увеличенное (рис. 11);

4) – действительное, перевернутое, равное (рис. 12);

5) – действительное, перевернутое, уменьшенное (рис. 13).

Рис. 9 Рис. 10

Рис. 11 Рис. 12

Рис. 13

Для рассеивающей линзы изображение всегда мнимое, прямое, уменьшенное (рис. 14-18).

Рис. 14 Рис. 15

Рис. 16 Рис. 17

Рис. 18

Формула тонкой линзы: , где правило знаков: расстояния до действительных точек берутся со знаком «+», до мнимых – со знаком «–».

Оптическая сила линзы (D) – величина, обратная её фокусному расстоянию.

– диоптрия.

• Знак «+» или «–» выбирают по правилу знаков.

Если высоту предмета обозначить , а высоту изображения , то (рис. 13 и др.)

Линейное (поперечное) увеличение линзы: .

Фокусное расстояние , абсолютные показатели преломления вещества линзы и среды и радиусы кривизны поверхностей и связаны соотношением:

При этом, если фокус действительный (мнимый), то перед ставится знак «+» («–»); если R – радиус выпуклости (вогнутости), то перед ставится знак «+» («–»).

Для оптической системы из нескольких тонких линз, сложенных вплотную: ; .