6.1.1.4. Гармонические колебания

Пусть точка движется по окружности радиуса R c постоянной угловой скоростью  и последовательно проходит положения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, а её проекция проходит соответствующие позиции на оси, совершая колебания.

Связь обращения точки и колебания её проекции очевидна и в прямоугольной системе координат: .

Учтя, что х и у – смещения точки по осям Х и У и начальная фаза , получим: .

У гловая скорость обращения (циклическая частота): или  где  – частота обращения (колебания).

х(t) и y(t) изменяются по законам cos и sin.

Гармоническое колебание – колебание, при котором смещение изменяется по закону косинуса или синуса.

В общем случае уравнение гармонического колебания имеет вид:

,

где х(t) – смещение; А – амплитуда;  – циклическая частота; t – время; ₀ – начальная фаза; – фаза.

Из опытов известно, что колебания проекций нитяного и пружинного маятников гармонические.

6.1.1.5. Гармонические колебания под действием силы упругости

Пусть в колебательной системе груз–пружина груз совершает собственные гармонические колебания под действием силы упругости пружины (её массой и потерей энергии на сопротивление среды пренебрегаем).

Упругие колебания – колебания, при которых возвращающей силой является сила упругости.

Сила упругости (п.1.3.5) или F_упр = – kx, где k – жёсткость; х – смещение.

Из F = ma  ma = – kx. Т.к. колебания гармонические . При ₀ = 0 x = Acost. Из  , или ; m^  k или . Из .

6.1.1.5.1. Превращение энергии при упругих колебаниях

Полная механическая энергия системы груз–пружина постоянна и равна: W = Е_п + Е_к, где – энергия пружины; – энергия груза. При прохождении положения равновесия х = 0 и . При максимальном смещении v = 0 и , где А – амплитуда колебаний. Из k = m^  .

6.1.1.6. Сложение гармонических колебаний одного направления и одной частоты

Пусть платформа совершает гармонические колебания x(t) = = Acos(t + ₀). На ней установлен цилиндр с поршнем, совершающим колебания x(t) = Acos(t + ₀) в том же направлении.

Результатом сложения гармонических колебаний одной частоты будет гармоническое колебание (поршня относительно неподвижного начала координат О) той же частоты: х(t) = = х(t) + х(t) = Acos(t + ₀).

Амплитуду А и начальную фазу ₀ колебания х(t) определим графически:

• В математике существует метод представления гармонических кривых в виде векторов, вращающихся на плоскости с частотой  Применение этого метода значительно упрощает определение параметров А и ₀ результирующего колебания.

6.1.1.7. Математический и физический маятники

Математический маятник – колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, и Земли.

• Металлический шарик, подвешенный на тонкой, длинной и нерастяжимой нити, можно приближённо считать математическим маятником.

Рассмотрим математический маятник массы m и длины . В произвольном положении на маятник действует возвращающая сила , где – натяжение нити. F_В = mgsin. Для малых :  . Т.к. стремится уменьшить х, они имеют разные знаки: или (*).

Из аналогии (*) с F_упр (п.6.1.1.5) следует, что колебания математического маятника (как и упругие) – гармонические.

Физический маятник – колебательная система, состоящая из тела, колеблющегося вокруг неподвижной оси, и Земли.

Пример физических маятников – линейка, закреплённая на оси, маятник механических часов.