4.Расчётная часть

Математическая форма записи задачи выглядит следующим образом:

, ,

, ,

, ,

.

Чтобы получить задачу на максимум, умножим целевую функцию на -1.

Рассмотрим пример задачи о назначениях m=n=4, которая определяется матрицей стоимостей.

Решение

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Шаг 4

После четвертой итерации количество независимых нулей (0*) стало равным размерности матрицы и поэтому процесс выбора закончен. Искомые элементы матрицы B соответствуют позициям независимых нулей матрицы B₀.

Значение целевой функции 1+3+5+2=11.

Оптимальное решение задачи о назначениях с соответствующей матрицей Bопределяется набором со значениями: . Содержательно это означает, что четвертый модуль устанавливается на первую клетку, первый модуль - на вторую клетку, второй модуль - на третью клетку, третий модуль – на четвертую клетку.

5.Анализ на чувствительность

Рассмотрим пример. Размерность задачи два на два.

При проведении анализа на чувствительность необходимо построить задачу двойственную к исходной.

Прямая задача	Двойственная задача
L=2x1+х2+5х3+9х4 ->MIN x1+x2 =1 x3+x4=1 x1+x3 =1 x2+x4 =1 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0	L'=u1+u2+u3+u4-u5- -u6-u7-u8->MAX u1-без ограничений u2-без ограничений u3-без ограничений u4-без ограничений u5>=0 u6>=0 u7>=0 u8>=0 u1+u3-u5<=2 u1+u4-u6<=1 u2+u3-u7<=5 u2+u4-u8<=9

Решаем исходную задачу прямым симплекс-методом и находим оптимальный план.

x* = (0,1,1,0);

L(x*)=6.

Решаем двойственную задачу прямым симплекс-методом и находим оптимальный план.

u*=(1,5,0,0,0,0,0,0);

L(u*)=6.

Оптимальные значения целевых функций взаимно-двойственных задач равны:

L(x^*) = L’(u^*)=6.

Проведем анализ полученных решений двойственных задач. Так как, оценка u₂^*=5 и он положителен, то ресурс, соответствующий ей, является самым существенным. А оценка u₁^*=1, значит, ресурс соответствующий ей является вторым по значимости.

Оценки u₃* =u₄^*= u₅^*= u₆^*= u₇^*= u₈^*=0, то ресурс, который им соответствует, не является существенным и его можно изменить на величину, которая не повлияет на оптимальное решение. Найдем эти величины.

Так как, величины ====0,то ресурсы b₃, b₄, b₆, b₇ нельзя увеличивать, а любое изменение повлияет на значение целевой функции.

А величины ==1,то ресурсы b₅, b₈ можно уменьшить на эти величины соответственно и это не повлияет на решение.

Найдем, как изменится прибыль при изменении существенных ресурсов на единицу.

Так как, .

, если , то

Аналогично .

Оценки показывают на сколько изменится максимальный экономический эффект от реализации схемы при изменении объема соответствующего ресурса на одну единицу.

Итак, с помощью реализованного в данной работе метода можно рассчитать оптимальное размещение модулей для оптимизации минимальной стоимости схемы.

Программы, реализованные в данной работе можно использовать для решения любых примеров венгерским методом, симплекс методом, для построения двойственных задач и нахождения их решения.

заключение

Задачи математического программирования можно применять для решения многочисленных задач в разных сферах человеческой деятельности. Можно перечислить большое количество разнообразных задач планирования экономики, управления отраслью, организации производства, которые формально сводятся к выбору лучших в каком то смысле значений параметров из некоторых величин.

Список Литературы

1. Дегтярев Ю.И. Введение в исследование операций. - М.: Высшая школа, 1986. – 224с.

2. Зайченко Ю.П. Исследование операций. - Киев: Высшая школа, 1979.

3. Зыкина А.В. Математическое программирование: Учеб. пособие. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2000. 64 с.

18