1.Постановка задачи.

Размещение модулей на плате

Пусть размещению на плате подлежат n модулей. По известной принципиальной схеме определяется матрица связей. А=||a_ij||, где a_ij – число связей между i-м и j-м модулями. Все n модулей должны быть размещены на плате, разбитой на m>n позиций. Задана матрица B=||b_sr|| стоимостей “прокладки“ одной лини связи между любыми модулями, размещенными в позициях s и r.

Составить модель размещения модулей на плате, минимизирующую суммарную стоимость связей.

Составим экономико-математическую модель задачи:

m - количество позиций;

n – число модулей;

b_sr – стоимость “прокладки“ одной лини связи между любыми модулями_;

a_ij – число связей между i-ми и j-м модулями

х_ij – булева переменная, которая принимает свои значения в соответствии с равенством:

Затраты на “прокладку” всех связей между модулями:

В результате составления экономико-математической модели задачи, получилась нелинейная целевая функция. Для составления линейной целевой функции необходимо упростить условие задачи. Для этого примем n=m. В результате условие будет иметь вид:

Размещение модулей на плате

Пусть размещению на плате подлежат n модулей. По известной принципиальной схеме определяется матрица связей. Все n модулей должны быть размещены на n позиций. Задана матрица B=||b_ij|| стоимостей “прокладки“ одной лини связи между любыми модулями, размещенными в позициях i и j.

Составить модель размещения модулей на плате, минимизирующую суммарную стоимость связей.

Таким образом, получили условие линейной задачи целочисленного программирования. Построим математическую модель по словесному описанию.

2. Построение аналитической модели

Составим экономико-математическую модель задачи.

b_ij – стоимость “прокладки“ одной лини связи между любыми модулями_.

х_ij – булева переменная, которая принимает свои значения в соответствии с равенством:

Затраты на “прокладку” всех связей между модулями:

Ограничения задачи будут иметь вид:

, , (1)

, , (2)

Уравнения (1) означают, что каждый модуль может быть установлен только на одно место. Уравнение (2)- на каждое место может быть установлен только 1 модуль. Соответственно, пустых мест в схеме, остаться не должно.

Таким образом, математическая модель задачи о назначениях является задачей целочисленного линейного программирования вида:

(3)

при ограничениях (1), (2) и

, , (4)

. (5)

Данная задача является частным случаем классической транспортной задачи, где m=n, для решения которой можно применить венгерский метод.

3.Обзор численных методов решения задач лп

Идея метода была высказана венгерским математиком Е.Эгервари в 1931 г.,а в 1953 г. другой венгерский математик Г.Кун развил его идею и назвал метод венгерским [3].

Введем следующие понятия:

1. Две матрицы и назовем эквивалентными , если, . Задачи о назначениях, определяемые эквивалентными матрицами, называются эквивалентными.

2. Нулевые элементы матрицы называются независимыми нулями, если для любого нуля , , строка и столбец, на пересечении которых лежит этот нуль, не содержат других нулевых элементов .

3. Выделенные элементы матрицы - это элементы строк или столбцов, помеченных знаком +. Все остальные элементы матрицы - невыделенные элементы.

Алгоритм состоит из подготовительного этапа и не более, чем ( - 2)-х последовательно проводимых итераций. Каждая итерация состоит из эквивалентных преобразований матрицы и выбора максимального числа независимых нулей. Окончательным результатом каждой итерации является увеличение числа независимых нулей, имеющих в начале итерации, на единицу. Как только количество независимых нулей становится равным , задача о назначениях решена: оптимальный вариант определяется позициями независимых нулей в последней из матриц, эквивалентных исходной матрице .