2.2. Достаточные условия экстремума

Вопрос о достаточных условиях экстремума для функций нескольких переменных сложен. Поэтому мы приведем без доказательства достаточные условия экстремума для функции двух переменных.

Теорема. Пусть в критической точке а = (a₁,a₂) функция y = f(x₁, x₂) имеет частные производные второго порядка. Положим:

Тогда возможны следующие ситуации:

а) при   0, А < 0 функция имеет максимум в точке а;

б) при   0, А > 0 функция имеет минимум в точке а;

в) при  < 0 экстремума в точке а нет (точка а - седловая);

г) при  = 0 для исследования нужно привлекать производные более высоких порядков.

3.2.3. Понятие о методе наименьших квадратов

Во многих задачах практики требуется по результатам наблюдений двух величин

x	x1	x2	......	xn
y	y1	y2	.......	yn

установить аналитическую зависимость между ними хотя бы приближенно. Один из подходов при решении этой задачи состоит в следующем.

Задаются видом зависимости y = f(x, a, b, c, ...), где a, b, c, ... - параметры. Эти параметры требуется подобрать так, чтобы расстояние  между экспериментальными значениями функции y_э = (y₁, y₂, ...,y_n) и расчетными значениями y_p = (f(x, a, b, ...), f(x₂, a, b, ...), ...., f(x_n, a, b, ...)) было минимальным.

Таким образом, требуется подобрать a, b, c, ... так, чтобы ( y_э, y_p) было минимальным.

Удобнее технически оказалось минимизировать функцию S= ²( y_э, y_p),

что, как легко видеть, приводит к одному и тому же результату.

Итак, требуется исследовать функцию

на минимум.

Легко понять, что сумма квадратов (что очевидно геометрически при n = 1, 2) может иметь лишь минимум. В силу этого достаточно составить систему нормальных уравнений:

и, решив ее, определить нужные значения параметров.

Реализуем описанную схему, предполагая, что искомая зависимость линейна, т.е. y = ax + b. В таком случае имеем:

Составив систему нормальных уравнений

после упрощений получаем:

Решая полученную систему, например, по формулам Крамера, получим: