1.3. Непрерывность функции нескольких переменных
Будем
говорить, что функция y = f
непрерывна во внутренней точки области
определения
,
если
Будем говорить, что функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой внутренней точке этого множества и непрерывна по Гейне в каждой граничной точке.
Сумма и произведение непрерывных функций n переменных непрерывны, а частное непрерывно лишь в тех случаях, когда знаменатель не обращается в ноль.
Для функций, непрерывных на замкнутых множествах, справедливы обе теоремы Вейерштрасса.
1.4. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных
Пусть
– внутренняя точка области определения
функции y = f
и величина
столь «мала», что
содержится в D(y) вместе с а.
Полным
приращением функции у в точке a
называют разность между наращенным
значением функции
и старым значением функции:
.
Частным приращением по переменной xk будем называть приращение y при условии, что x1 = 0, ...xk-1 = 0, xk 0, xk+1 = 0, ...xn = 0.
Обозначение:
.
Таким
образом:
.
Отметим, что при вычислении частного приращения по переменной xk на множестве точек все аргументы, за исключением xk, фиксированы и, следовательно, функция у рассматривается как функция одного переменного xk.
Назовем частной производной функции у по переменной xk предел отношения частного приращения по переменной xk к вызвавшему его приращению xk аргумента xk.
Обозначим:
Таким
образом , по определению
Поскольку
формально определение частной производной
не отличается от определения обычной
производной, для вычисления частных
производных применимы все полученные
ранее правила и формулы с учетом того,
что все переменные при вычислении
,
за исключением
xk,
считаются постоянными.
Назовем
главную часть частного приращения
,
линейно зависящую от xk,
частным дифференциалом по переменной
xk.
Обозначения:
иногда записывают
Переформулируя для рассматриваемого случая критерий существования дифференциала функции одного переменного, приходим к следующему утверждению.
Теорема.
Функция y = f
имеет частный дифференциал по переменной
хk
тогда только тогда, когда она имеет
частную производную по переменной xk.
Частный дифференциал
совпадает с частным приращением xk
и, кроме того,
.
Все утверждения о производных и дифференциалах функции одного переменного справедливы и для частных производных и частных дифференциалов. В частности, частные производные можно рассматривать как функции тех же аргументов, что и функцию у.
1.5. Полный дифференциал
Мы будем говорить, что функция у дифференцируема (имеет полный дифференциал) в точке , если полное приращение этой функции можно представить в виде
(1)
где
,
- б.м.в. более
высокого порядка, чем
, т.е.
.
Полным дифференциалом функции у называют только главную часть полного приращения функции, линейно зависящую от приращений аргументов.
Обозначения: dy, df.
Таким образом, по определению
.
(2)
Теорема. Если функция у имеет полный дифференциал, то она имеет в рассматриваемой точке частные производные по всем переменным, и при этом
Кроме того, дифференциалы аргументов dxk = xk и, следовательно,
(3)
Доказательство. Пусть имеет место представление (2), тогда, в частности,
.
Отсюда
При
этом
- б.м.в. при xk
0 как произведение б.м.в.
на
ограниченную
.
В силу основной теоремы теории пределов
существует и равен
Ак.
Это
означает, что существует частная
производная
Следовательно,
Применяя эту формулу к функции y = xk, получим dxk = xk.
Что и требовалось доказать.
Замечание. В отличие от случая n = 1 существования частных производных, вообще говоря, недостаточно для дифференцируемости функции.