1.6. Производная сложной функции

Функция n переменных y = f называется сложной, если каждый ее аргумент является функцией нескольких переменных:

Аргументы называются промежуточными, а аргументы

- конечными.

Возникает вопрос о существовании и формуле для вычислений производных Достаточные условия существования и формула для вычислений содержатся в следующем утверждении:

Теорема. Если функция у дифференцируема в точке , а каждая из функций имеет частную производную то и функция у имеет производную , и при этом

Доказательство. Дадим аргументу приращение тогда в силу существования каждое из приращений x_k может быть представлено в виде

В силу дифференцируемости функции у имеет место представление (1). Из этого представления, учитывая формулы для x_k, k = 1, 2, ..., n, получаем:

где - б.м.в. более высокого порядка, чем . Тогда

В силу основной теоремы теории пределов существует .

Таким образом, по определению частной производной

что и требовалось доказать.

3.1.7. Полная производная

Пусть функция одного переменного задана следующим образом:

y = f , при этом:

Производную в описанной ситуации называют полной производной. Если функции f, x₁, ... , x_n удовлетворяют условиям предыдущего пункта, то, применяя выведенную там формулу при m = 1 и несколько видеоизменяя обозначения, будем иметь:

Эту формулу называют формулой для полной производной.

1.8. Производная функции, заданной неявно

Рассмотрим функцию одного переменного, заданную неявно уравнением f(x, y) = 0. Предполагая, что функция f(x, y) дифференцируема, найдем полную производную обеих частей:

В силу формулы для предыдущего пункта получаем:

, или

Отсюда

Основываясь на полученной формуле, можно доказать, что если существуют и и при этом , то существует и производная функции, заданной неявно, вычисляемая по полученной выше формуле.

Замечание. В других обозначениях:

1.9. Инвариантность формы первого дифференциала

Нами для вычисления дифференциала была получена формула (3), и при этом неявно мы предполагали, что - конечные аргументы. Оказывается, что при вычислении dy это неважно, аргументы могут быть и промежуточными, а формула (3) тем не менее сохранится.

Напомним, что это свойство, рассматривая случай n = 1, мы назвали инвариантностью формы первого дифференциала.

Покажем, что dy действительно обладает свойством инвариантности.

Пусть y = f ,

при этом:

Предполагая, что функции f, x₁, ... , x_n дифференцируемы, имеем в силу формулы (3):

Но в силу формулы для дифференцирования сложной функции:

Тогда

Итак, первый дифференциал обладает свойством инвариантности.

Приближенные вычисления при помощи полного дифференциала.

Как и при n = 1, имеет место приближенное равенство y  dy,

откуда

Или

где

1. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных

Будем использовать здесь привычные в геометрии обозначения переменных: х - абсцисса, у - ордината, z - аппликата.

Дадим геометрическую интерпретацию частных производных функции

z = f(x; y). Положив y = y₀, мы получаем функцию z = f(x; y₀), график которой есть линия (L) пересечения поверхности z = f(x; y) с плоскостью y = y₀.

Частная производная

равна тангенсу угла  наклона касательной к кривой (L) в точке М₀(x₀; y₀; z₀), который она образует с положительным направлением оси Ох.

Аналогично, частная производная

равна тангенсу угла  наклона касательной к кривой (L): z = f(x₀;y) в точке М₀(x₀; y₀; z₀), который она образует с положительным направлением оси Оy.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Рассмотрим поверхность, заданную уравнением F(x; y; z)=0, причем F(x; y; z) будем считать дифференцируемой функцией.

Выберем на поверхности точку М₀(x₀; y₀; z₀) и проведем через нее какую-нибудь линию (L), целиком лежащую на поверхности. Пусть эта линия описывается уравнениями:

где x(t), y(t), z(t) - дифференцируемые функции по t, причем:

Каждая точка кривой L лежит на поверхности, поэтому

x

F y t

z

Продифференцируем обе части тождества по t:

Полученное равенство справедливо и в точке М₀ (при t = t_o):

(4)

Рассмотрим 2 вектора:

Из равенства (4) следует, что .

Пусть тогда Но вектор - касательный к кривой L. Так как кривая L проведена через М₀ произвольно, то таких векторов можно получить множество, проводя через М₀ различные кривые L на поверхности. Все эти векторы перпендикулярны вектору , следовательно, все они лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью; чтобы составить ее уравнение, примем вектор в качестве нормального вектора касательной плоскости, проходящей через М₀.

Тогда ее уравнение будет иметь вид:

Уравнение нормали (прямой, перпендикулярной касательной плоскости и проходящей через М₀(x₀; y₀; z₀) получим, приняв за направляющий вектор . Тогда - уравнение нормали к поверхности

F(x; y; z) = 0 в точке М₀.