Функции нескольких переменных

1. Частные производные и дифференциалы

1.1. Понятие и способы задания функции нескольких переменных

Пусть - декартово произведение множеств. Функцию с областью определения, являющейся подмножеством Х, называют функцией переменных . Как правило, мы будем рассматривать случай, когда Х_k = R, k = 1, 2,..., n, a Y = R , и именно такие функции называют функциями нескольких переменных.

Итак, функцией n переменных x₁,x_2, ... ,x_n, где (x₁,x_2, ... ,x_n)  Rⁿ,

Rⁿ = RR...R, будем называть правило или закон, по которому каждому набору аргументов (x₁,x_2, ... ,x_n)  Rⁿ ставится в соответствие единственное число y  R.

Тот факт, то задана функция n переменных, будем записывать следующим образом: y = f . При этом будем называть аргументами,

а y - функцией.

Как и для функции одного переменного, способы задания функций нескольких переменных следующие:

1) аналитический (явный, неявный, параметрический);

2) графический (n = 2);

3) табличный;

4) словесный.

Наиболее распространенным является аналитический способ задания. Разъясним его на примерах.

Пример 1. Функция задана явно аналитической формулой указывающей правило, по которому каждому набору аргументов становится в соответствии функция.

Пример 2. Функция задана уравнением неявно.

Это функция двух переменных х₁, х₂. Задавая значения переменных, находят из получившегося соотношения значение функции, соответствующее этому набору переменных. Например, набору (0, 0) соответствует:

Таким образом, для х₁ = 0, х₂ = 0 значение функции .

Пример 3. Функция задана уравнениями параметрически:

По набору переменных х₁, х₂ находят значения параметров u, v, а затем функцию y. Например, набору переменных (1, 1) соответствует значение функции, определяемое следующим образом:

Итак, при х₁ = 1, х₂ = 1, y =

1.2. Понятие предела функции нескольких переменных

Пусть и .

Расстоянием от х до а назовем число

.

Отметим, что это число при n = 1, 2, 3 действительно является расстоянием между точками прямой, плоскости, пространства соответственно.

 – окрестностью точки назовем совокупность таких, что (x, a) < . При n =1, 2, 3 геометрически это означает следующее:

Пусть y = f - функция n-переменных, и содержится в области определения функции у вместе с некоторой окрестностью.

Число b называют пределом функции y = f при х  а, если по любому сколь угодно малому  > 0 находится  = () > 0 такое, что , как только (х, а) < .

Записывается это одним из следующих способов:

Отметим, что (х, а)  0 тогда и только тогда, когда

х₁  а₁, х₂  а₂,..., х_n  а_n.

Нетрудно проследить, что практически все утверждения о пределах, приведенные для функций одного переменного, остаются справедливыми и для функций нескольких переменных.

Предупреждение. Предел вида называется повторным и лишь иногда он совпадает с

Пример.

а - не существует, т.к.

зависит от способа приближения (х₁, х₂) к началу координат.

Например, если х₂ = kx₁, то

- зависит от k (см. рис 2.11).

Рис. 2.11.