3.1. Введение в анализ

К этому разделу отнесены следующие дидактические единицы ГОС: Действительные числа и их свойства. Функции и их свойства. Операции над функциями, композиция функций, обратная функция. Предел последовательности. Предел функции. Непрерывность функции в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Непрерывность основных элементарных функций.

Студент должен знать:

в области действительных чисел и их свойств: строение и свойства множеств натуральных, целых, рациональных чисел; построение множества действительных чисел на основе множества рациональных чисел и свойства этого множества; определение и свойства ограниченных множеств;

в области функций и их свойств: определение отображения множеств (функции); определение монотонной, ограниченной, периодической, четной, нечетной функции;

в области операций над функциями, композиции функций, обратной функции: определение арифметических операций над функциями; определение сложной, обратной функции; свойства графика обратной функции;

в области предела последовательности: определение числовой последовательности и ее предела; свойства монотонных и ограниченных последовательностей; свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей; необходимый и достаточный признак сходимости последовательности;

в области предела функции: определение конечного и бесконечного предела функции в точке и на бесконечности по Коши и по Гейне, эквивалентность этих определений; основные свойства пределов функций; определение и свойства односторонних пределов; замечательные пределы; классификацию бесконечно малых и бесконечно больших величин и их свойства;

в области непрерывности функции в точке и на множестве: различные варианты определения функции, непрерывной в точке, на множестве, эквивалентность этих определений; арифметические операции над непрерывными функциями; классификацию разрывов;

в области свойств непрерывных функций: первая и вторая теоремы Больцано — Коши, теорема о непрерывности сложной и обратной функции, первая и вторая теоремы Вейерштрасса; определение равномерной непрерывности, теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке; определение и способы нахождения асимптот кривых;

в области непрерывности основных элементарных функций: основные элементарные функции и их свойства в действительной области: степенную функцию, многочлен, рациональную функцию, показательную функцию, логарифмическую функцию; показательно-степенную функцию; тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Студент должен уметь:

в области действительных чисел и их свойств: отмечать числовые промежутки на координатной оси, записывать числовые промежутки в виде неравенств, двойных неравенств и неравенств с модулями и наоборот;

в области функций и их свойств: находить область определения элементарной функции; устанавливать четность, периодичность; доказывать монотонность, ограниченность функции по определению;

в области операций над функциями, композиции функций, обратной функции: строить график элементарной функции с помощью преобразований, строить график суперпозиции двух функций; описывать свойства функции по графику; получать обратную функцию и строить ее график; строить график функции, зная ее свойства;

в области предела последовательности: получать несколько членов последовательности; получать формулу общего члена; доказывать монотонность, ограниченность последовательности по определению; доказывать существование предела последовательности; доказывать по определению и находить с помощью приемов раскрытия неопределенностей предел числовой последовательности;

в области предела функции: доказывать по определению (в простейших случаях) и находить с помощью приемов раскрытия неопределенностей конечный и бесконечный предел функции в точке, на бесконечности; изображать примерный график функции, соответствующий пределу;

в области непрерывности функции в точке и на множестве: проводить исследование на непрерывность, одностороннюю непрерывность конкретной функции; определять типы точек разрыва;

в области свойств непрерывных функций: решать неравенства методом интервалов; доказывать существование корня на отрезке; получать уравнения асимптот кривых;

в области непрерывности основных элементарных функций: доказывать обратимость, ограниченность, равномерную непрерывность (в простейших случаях) функции.

Время выполнения теста — 40 минут.

Структура контрольно-измерительных материалов

№ задания	Наименование темы задания	№ правильного ответа	Кол-во баллов
1	Область определения функции	4	1
2	Функции, определенные на всей числовой прямой	2	1
3	Четность	3	1
4	Периодичность	5	1
5	Различные свойства функций	1	1
6	Преобразования графиков функций	4	1
7	Описание свойств функции по графику	3	2
8	Количество корней уравнения	5	2
9	Предел числовой последовательности	2	1
10	Ограниченность последовательности	3	1
11	Сходящиеся последовательности	2	1
12	Предел функции в точке. Раскрытие неопределенностей	1	1
13	Эквивалентные бесконечно малые	4	2
14	Предел функции на бесконечности. Раскрытие неопределенностей	5	2
15	Разрывы первого рода	5	1
16	Разрывы второго рода	3	1
17	Обратимость функции	2	2
18	Равномерная непрерывность	5	2
19	Асимптоты	3	2
20	Асимптоты	4	1