4. Контрольно-измерительные материалы по дифференциальным уравнениям и уравнениям с частными производными

Дисциплина «Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными» входит в блок дисциплин предметной подготовки специальности 050201 (032100) «Математика» и частично в блок общих математических и естественно-научных дисциплин направления 540200 «Физико-математическое образование» (профессионально-образовательного профиля подготовки бакалавров 540201 «Математика»).

Приведем требования ГОС ВПО к обязательному минимуму содержания основных образовательных программ подготовки специалиста и бакалавра.

Для специальности 050201 (032100) «Математика».

ДПП	Дисциплины предметной подготовки	4334
ДПП.Ф.00	Федеральный компонент	3834
ДПП.Ф.05	Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Поле направлений, изоклины. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка и линейные системы. Матричный метод интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений при помощи рядов. Уравнения с частными производными. Метод Фурье. История возникновения и развития теории дифференциальных уравнений.	117

Для направления 540200 «Физико-математическое образование»

ЕН	Общие математические и естественно-научные дисциплины	1000
ЕН.Ф.00	Федеральный компонент	800
ЕН.Ф.01	Математика Аналитическая геометрия. Линейная алгебра. Дифференциальное и интегральное исчисления; дифференциальные уравнения; элементы теории вероятностей и статистики.	308

Студент должен знать:

в области основных понятий теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ): задачи, приводящие к ОДУ и системам ДУ; определения ОДУ, порядка ОДУ, решения ОДУ, интегральных кривых, начальных условий, задачи Коши; геометрический смысл решения задачи Коши;

в области теоремы существования и единственности решения задачи Коши: достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши 1-го порядка (теоремы Пикара, Коши); определение нормальной системы ОДУ, ее решения, достаточные условия существования и единственности решения нормальной системы ОДУ; эквивалентность ОДУ n-го порядка и нормальной системы ОДУ; достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши n-го порядка;

в области поля направлений, изоклин: геометрический смысл ОДУ 1-го порядка; определения поля направлений, изоклин;

в области простейших дифференциальных уравнений (ДУ) и методов их решения: определения и методы решения ДУ с разделяющимися переменными, однородного ДУ 1-го порядка с непрерывными коэффициентами, линейного ДУ, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах; определение огибающих, особого решения ДУ и их связь; методы понижения порядка ДУ;

в области линейных дифференциальных уравнений n-го порядка и линейных систем: определение нормальной системы линейных уравнений и условия существования и единственности ее решения; определение линейного ДУ n-го порядка с непрерывными коэффициентами и свойство его решений образовывать линейное пространство; определение фундаментальной системы решений, вид общего решения; определение определителя Вронского, необходимые и достаточные условия линейной независимости решений и фундаментальности системы функций; структуру общего решения; вид общего решения; метод вариации постоянных нахождения общего решения неоднородного уравнения; структуру общего решения однородного линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами; способы нахождения частного решения неоднородного уравнения по виду правой части; приложение линейных уравнений к исследованию свободных и вынужденных колебаний; структуру общего решения однородного линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами; способы нахождения частного решения неоднородного уравнения n-го порядка по виду правой части;

в области матричного метода интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений: матричный метод решения линейных систем 2-го порядка с постоянными коэффициентами;

в области интегрирования линейных дифференциальных уравнений при помощи рядов: определение голоморфного решения задачи Коши; метод последовательного дифференцирования и метод неопределенных коэффициентов получения коэффициентов ряда Тейлора решения задачи Коши; условия существования и единственности голоморфного решения задачи Коши;

в области уравнений с частными производными: сведения теории уравнений с частными производными 1-го порядка; определение уравнения с частными производными 1-го порядка; связь линейного уравнения с частными производными 1-го порядка с системой ОДУ; методы построения общего решения и решения задачи Коши;

в области метода Фурье: сведения о методе разделения переменных; область применимости метода Фурье;

в области истории возникновения и развития теории дифференциальных уравнений: роль дифференциальных уравнений и систем ДУ в моделировании реальных процессов; вклад выдающихся математиков в развитие теории ДУ.