3.5. Функции нескольких переменных. Кратные интегралы

К этому разделу отнесены следующие дидактические единицы ГОС: Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных. Исследование на экстремумы. Неявные функции. Двойной и тройной интегралы, их применение к вычислению геометрических величин. Криволинейные интегралы и их приложения.

Студент должен знать:

в области функций нескольких переменных: определение функции нескольких переменных, определение линии уровня, определение графика;

в области предела и непрерывности: определение предела по Коши и по Гейне; свойства пределов; определение непрерывной функции нескольких переменных в точке, в области; связь непрерывности и непрерывности по координатам;

в области частных производных и дифференцируемости функции нескольких переменных: определение частных производных, определение дифференцируемой функции нескольких действительных переменных; достаточное условие дифференцируемости; геометрический и механический смысл частных производных и полного дифференциала; основные теоремы дифференциального исчисления функции нескольких переменных; определение производной по направлению, градиента и физического смысла градиента; определение частных производных и дифференциалов высших порядков; условия равенства смешанных производных; формулу Тейлора для функции двух переменных;

в области исследования на экстремумы: необходимые и достаточные условия существования экстремумов функции двух переменных; определение стационарной точки и необходимое условие существования экстремума функции нескольких переменных; метод множителей Лагранжа нахождения стационарной точки; алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на множестве;

в области неявных функций: определение неявной функции; определение однозначной и многозначной функции; достаточные условия существования однозначной дифференцируемой функции одной и двух переменных;

в области двойных и тройных интегралов, их применения к вычислениию геометрических величин: задачи, приводящие к понятию двойного, тройного интеграла; определение и геометрический смысл кратных интегралов, свойства кратных интегралов; классы интегрируемых функций; условия сведения кратных интегралов к повторным; условия замены переменных в кратных интегралах; способ перехода к полярным, цилиндрическим, сферическим координатам; применение кратных интегралов для вычисления площади, объема, площади гладкой поверхности, массы и координат центра тяжести пластины и тела;

в области криволинейных интегралов и их приложений: задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла первого и второго рода; определение, свойства, способы вычисления криволинейных интегралов и некоторые их приложения.

Студент должен уметь:

в области функций нескольких переменных: изображать графики функций двух переменных в простейших случаях; строить линии уровня и давать описание поверхности по этим линиям;

в области предела и непрерывности: проводить исследование на непрерывность конкретной функции нескольких переменных; находить пределы функций двух переменных;

в области частных производных и дифференцируемости функции нескольких переменных: находить частные производные и производные высших порядков функции нескольких переменных; находить дифференциал и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных, находить градиент; строить касательную плоскость к графику заданной функции, обладающую заданными свойствами;

в области исследования на экстремумы: исследовать на экстремум и на наибольшее и наименьшее значение функцию двух и нескольких переменных; решать содержательные задачи на наибольшее и наименьшее значение функции одной и нескольких переменных;

в области неявных функций: находить производные неявной функции одной и нескольких переменных;

в области двойных и тройных интегралов, их применения к вычислениию геометрических величин: вычислять кратные интегралы; делать замену в кратных интегралах; применять кратные интегралы и их свойства к решению прикладных задач;

в области криволинейных интегралов и их приложений: вычислять криволинейные интегралы непосредственно и с использованием свойств.

Время выполнения теста — 80 минут.