4 Рекурсия

Множество предложений, имеющих в заголовке предикат с одним и тем же именем и одинаковым количеством аргументов, трактуются как процедура. Для процедурной модели важен порядок, в котором записаны предложения и условия в предложениях.

В отличие от традиционных языков программирования, в которых основным средством организации повторяющихся действий являются циклы, в Прологе используются процедура поиска с возвратом (откат) и рекурсия. Откат даёт возможность получить много решений в одном вопросе к программе, а рекурсия позволяет использовать в процессе определения предиката его самого. Рекурсию используют не только в Прологе, но и в остальных языках программирования. Но в Прологе в отличие от остальных языков рекурсия является основным приемом программирования.

Предикат родитель имеет 2 аргумента. В качестве первого указывается имя родителя, а в качестве второго имя ребенка. Получить отношение – быть предком. Для того, чтобы один человек был предком другого человека, нужно, чтобы он был его родителем, либо являлся родителем другого его предка.

предок(Предок,Потомок):-

родитель(Предок,Потомок).

/* предком является родитель */

предок(Предок,Потомок):-

родитель(Предок,Человек),

предок(Человек,Потомок).

/* предком является родитель предка */

Отношение предок является транзитивным замыканием отношения родитель, то есть это наименьшее отношение, включающее отношение родитель и обладающее свойством транзитивности.

Базис рекурсии – это предложение, определяющее некоторую начальную ситуацию или ситуацию в момент прекращения.

Шаг рекурсии – это правило, в теле которого обязательно содержится в качестве подцели вызов определяемого предиката. Если мы хотим избежать зацикливания определяемый предикат должен вызываться не от тех же параметров, которые указаны в заголовке правила. Параметры должны изменятся на каждом шаге так, чтобы в итоге либо сработал базис рекурсии, либо условие выхода из рекурсии , размещенное в самом правиле.

<имя определяемого предиката>:-

[<подцели>],

[<условие выхода из рекурсии>],

[<подцели>],

<имя определяемого предиката>,

[<подцели>].

В некоторых ситуация предложений реализующих базис рекурсий и предложений, описывающих шаг рекурсий может быть несколько. Как правило, это бывает в сложных случаях, например, когда выполняемая в процессе реализация шага рекурсии в процессе зависит от выполнения или невыполнения какого либо условия.

Пример. Создадим предикат, который будет вычислять по натуральному числу его факториал. Эта задача допускает рекурсивное решение на многих языках программирования, а также имеет рекурсивное математическое описание:

1!=1 /* факториал единицы равен единице */

N!=(N-1)!*N /* для того, чтобы вычислить факториал

некоторого числа, нужно вычислить

факториал числа на единицу меньшего

и умножить его на исходное число */

Попробуем записать реализацию предиката, эквивалентную математическому определению предиката:

fact(1,1). /* факториал единицы равен единице */

fact(N,F):-

N1=N-1,

fact(N1,F1), /* F1 равен факториалу числа

на единицу меньшего исходного

числа */

F=F1*N. /* факториал исходного числа равен

произведению F1 на само число */

Данных пример с ошибкой – переполнится стек.

Можно проверить, что число, для которого применяется правило, больше единицы. Для единицы останется факт, утверждающий, что факториалом единицы будет единица. Выглядеть этот вариант будет следующим образом:

fact(1,1). /* факториал единицы равен единице */

fact(N,F):-

N>1, /* убедимся, что число больше единицы */

N1=N-1,

fact(N1,F1), /* F1 равен факториалу числа,

на единицу меньшего исходного

числа */

F=F1*N. /* факториал исходного числа равен

произведению F1 на само число */

Второй вариант решения проблемы - добавить в первое предложение процедуры отсечение.

fact(1,1):-!. /* условие останова рекурсии */

fact(N,F):-

N1=N-1,

fact(N1,F1), /* F1 равен факториалу числа,

на единицу меньшего исходного

числа */

F=F1*N. /* факториал исходного числа равен

произведению F1 на само число */

Существует вариант рекурсии, который использует столько же оперативной памяти сколько и обычные языки – хвостовая (правая рекурсия). Для ее осуществления рекурсивный вызов определяемого предиката должен быть последней подцелью в теле рекурсивного правила и к моменту рекурсивного вызова не должно остаться точек возврата (непроверенных альтернатив). То есть у подцелей, расположенных левее рекурсивного вызова определяемого предиката, не должно оставаться каких-то непроверенных вариантов и у процедуры не должно быть предложений, расположенных ниже рекурсивного правила. Турбо Пролог, на который мы ориентируемся в нашем курсе, распознает хвостовую рекурсию и устраняет связанные с ней дополнительные расходы. Этот процесс называется оптимизацией хвостовой рекурсии или оптимизацией последнего вызова.

Вычисление факториала с использованием хвостовой рекурсии, добавим два дополнительных параметра, которые будут использоваться для хранения промежуточных результатов. Третий параметр нужен для хранения текущего натурального числа, для которого вычисляется факториал, четвертый параметр - для факториала числа, хранящегося в третьем параметре.

fact2(N,F,N,F):-!. /* останавливаем рекурсию, когда третий

аргумент равен первому*/

fact2(N,F,N1,F1):-

N2=N1+1, /* N2 - следующее натуральное число

после числа N1 */

F2=F1*N2, /* F2 - факториал N2 */

fact2(N,F,N2,F2).

/* рекурсивный вызов с новым натуральным

числом N2 и соответствующим ему

посчитанным факториалом F2 */

Остановить рекурсию можно, воспользовавшись отсечением в базисе рекурсии, как мы это делали ранее или добавив в начало второго предложение сравнение N1 с N.

Если мы решим, что вызвать предикат с 3 тремя аргументами неудобно, можно ввести дополнительный двухаргументный предикат, который будет запускать исходный предикат:

factM(N,F):-

fact2(N,F,1,1). /* вызываем предикат с уже

заданными начальными

значениями */

Циклы в Прологе:

w:-

<условие>,p,w.

w:-!.

Пример. Числа Фибоначчи. Базисов рекурсии в данном случае два. Первый будет утверждать, что первое число Фибоначчи равно единице. Второй базис - аналогичное утверждение про второе число Фибоначчи. Шаг рекурсии также будет необычным, поскольку будет опираться при вычислении следующего числа Фибоначчи не только на предшествующее ему число, но и на предшествующее предыдущему числу. В нем будет сформулировано, что для вычисления числа Фибоначчи с номером N сначала нужно вычислить и сложить числа Фибоначчи с номерами N-1 и N-2.

fib(1,1):-!. /* первое число Фибоначчи равно единице */

fib(2,1):-!. /* второе число Фибоначчи равно единице */

fib(N,F) :-

N1=N-1, fib(N1,F1), /* F1 это N-1-е число

Фибоначчи */

N2=N-2, fib(N2,F2), /* F2 это N-2-е число

Фибоначчи */

F=F1+F2. /* N-е число Фибоначчи равно сумме

N-1-го и N-2-го чисел Фибоначчи */

Попробуем повысить эффективность записанного примера. Будем искать сразу два числа, которые нам нужно найти и след. за ним. Соответственно, предикат будет иметь третий дополнительный аргумент, базис рекурсии из двух предложений сожмется в одно, утверждающее, что первые два числа равны 1.

fib2(1,1,1):-!. /* первые два числа Фибоначчи равны

единице */

fib2(N,FN,FN1):-

N1=N-1,fib2(N1,FN_1,FN),

/* FN_1 это N-1-е число

Фибоначчи, FN это

N-е число Фибоначчи */

FN1=FN+FN_1. /* FN1 это N+1-е число Фибоначчи */

Несмотря на то, что предикат fib2 находит, в отличие от предиката fib, не одно число Фибоначчи, а сразу два, он использует намного меньше стекового пространства и работает во много раз быстрее. Для вычисления числа Фибоначчи с номером N (а заодно и N+1-го числа Фибоначчи) необходимо всего лишь N рекурсивных вызовов предиката fib2.

Если нам не нужно след. число, можно сделать последним аргументом анонимною переменную, и добавить след. предикат :

fib2(N,FN):-

fib2(N,FN,_).

Обратите внимание, что если во втором правиле процедуры описан предикат предок, изменить порядок поцелей с декларативной точки зрения смысл остается прежним (левосторонняя рекурсия).

предок2(Предок,Потомок):-

родитель(Предок,Потомок). /* предком является

родитель */

предок2(Предок,Потомок):-

предок2(Человек,Потомок), /* предком является

родитель предка */

родитель(Предок,Человек).

Однако работать модифицированная процедура будет совсем не так. В случае, если вызвать предикат предок2, указав в качестве аргументов имена людей, один из которых является предком другого, он успешно подтвердит, что первый человек - предок второго. Во всех остальных ситуациях (один из аргументов свободен; человек, имя которого указано в качестве первого аргумента, не является предком человека, чье имя указано в качестве второго аргумента) все произойдет не так, как следовало бы. После того, как этот предикат выдаст те же ответы, что и исходный предикат предок, он зациклится и в итоге выдаст сообщение о том, что стек переполнен.

Это когда один из аргументов свободен, либо человек не является предком человека, чье имя указано в качестве второго аргумента. Такой вид рекурсии, когда тело правила начинает с рекурсивного вызова и называется левосторонней рекурсией. С левосторонне рекурсией очень часто возникают проблемы, поэтому нужно стараться избегать использование левосторонней рекурсии, в отличии от правосторонней или хвостовой рекурсии.