Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тульский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задача 1.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

1.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Правило выбора переменной для введения в базисные переменные (правило выбора ключевого, или разрешающего, столбца)

Пусть одна оценка _k  0 или наибольшая по абсолютной величине _k  0, тогда k-й столбец принимают за ключевой (разрешающий).

Такой переменной является переменная из столбца с наибольшей по абсолютной величине оценкой ₂ = 4, т.е. переменная х₂.

с_i	с_j	3	4	1	3	2	0	0	0		min
с_i	Базисные переменные (БП)	х₁	х₂	х₃	х₄	х₅	х₆	х₇	х₈	b_i	b_i/ h_ij
0	х₆	1	«3»	2	3	6	1	0	0	3	1
0	х₇	2	3	1	6	0	0	1	0	5	5/3
0	х₈	3	1	2	6	4	0	0	1	4	4
_j		-3	-4	- 1	- 3	-2	0	0	0	0

Теперь следует определить, какую переменную нужно вывести из базиса.

Правило выбора переменной для вывода из базисных переменных (правило выбора ключевой (разрешающей) строки

За ключевую (разрешающую) строку принимают ту, которой соответствует минимальное отношение свободных членов (b_i) к положительным коэффициентам ключевого k-го столбца. Элемент, находящийся на пересечении ключевых строки и столбца, называют ключевым (разрешающим) элементом.

В столбце оценочных отношений min{b_i/ h_ij} отражены отношения свободных членов к элементам из разрешающего столбца, минимальным является отношение 3/3, соответствующее строке переменной х₆, следовательно, эта строка – разрешающая, а переменная х₆ выводится из базисных переменных. На пересечении ключевой строки и ключевого столбца находится ключевой элемент «3».

Переходим ко второму шагу симплекс-метода.

Правила заполнения следующей таблицы симплекс-метода

В столбец базисных переменных на место выведенной из базисных вносится новая базисная переменная. При этом в столбец с_i вносится соответствующее значение коэффициента при переменной из целевой функции. Ключевая строка переписывается, при этом все ее элементы делят на ключевой элемент.

Заполняют столбцы для базисных переменных: на пересечении строки и столбца, в которых находится одна и та же переменная, ставят «1», в остальных клетках столбца нули.

Остальные коэффициенты таблицы находят по правилу «прямоугольника»: для искомого элемента новой таблицы выбирают стоящий на пересечении той же строки и того же столбца элемент из предыдущей таблицы , умножают его на разрешающий , из этого произведения вычитают произведение элементов, расположенных на противоположной диагонали прямоугольника, образуемого искомым и разрешающим элементами, а полученную разность делят на разрешающий элемент .

Оценки _j можно считать по приведенным ранее формулам или по правилу «прямоугольника».

с_i	с_j	3	4	1	3	2	0	0	0		min
с_i	Базисные переменные (БП)	х₁	х₂	х₃	х₄	х₅	х₆	х₇	х₈	b_i	b_i/ h_ij
4	х₂	1/3	«1»	2/3	1	2	1/3	0	0	1
0	х₇		0
0	х₈		0
_j

Заполним симплекс-таблицу второго шага. Вместо переменной х₆ вводим в базис переменную х₂, в целевой функции ей соответствует коэффициент 4, который вносится в соответствующую клетку столбца с_i.

В строке, соответствующей переменной х₂ переписываем элементы из ключевой строки предыдущей таблицы, предварительно разделив их на ключевой элемент «3». Остальные клетки заполняем по правилу прямоугольника, отмечая, что ключевой элемент «4» находится в третьей строке и втором столбце предыдущей таблицы:

= ;

с_i	с_j	3	4	1	3	2	0	0	0		min
с_i	Базисные переменные (БП)	х₁	х₂	х₃	х₄	х₅	х₆	х₇	х₈	b_i	b_i/ h_ij
4	х₂	1/3	1	2/3	1	2	1/3	0	0	1
0	х₇	1	0	-1	3	-6	-1	1	0	2
0	х₈	8/3	0	4/3	5	2	-1/3	0	1	3
_j		-5/3	0	5/3	1	6	4/3	0	0	4

Второе опорное решение имеет вид: = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 3), = 4.

Однако это решение не оптимальное, поскольку оценка ₁ = - 5/3 <0.

Поскольку только одна оценка отрицательная, то выбираем этот столбец в качестве разрешающего. Следовательно, в базисные переводим переменную х₁.

Для определения, того, какую переменную вывести из базисных, находим оценочные отношения. Получается, что надо выводить х₈, т.к. 9/8 это минимальное соотношение. За разрешающую строку принимаем третью.

с_i	с_j	3	4	1	3	2	0	0	0		min
с_i	Базисные переменные (БП)	х₁	х₂	х₃	х₄	х₅	х₆	х₇	х₈	b_i	b_i/ h_ij
4	х₂	1/3	1	2/3	1	2	1/3	0	0	1	3
0	х₇	1	0	-1	3	-6	-1	1	0	2	2
0	х₈	«8/3»	0	4/3	5	2	-1/3	0	1	3	9/8
_j		-5/3	0	5/3	1	6	4/3	0	0	4

с_i	с_j	3	4	1	3	2	0	0	0
с_i	Базисные переменные (БП)	х₁	х₂	х₃	х₄	х₅	х₆	х₇	х₈	b_i
4	х₂	0	1	1/2	3/8	7/4	3/8	0	-1/8	5/8
0	х₇	0	0	-3/2	9/8	-27/4	-7/8	5/8	-3/8	7/8
3	х₁	«1»	0	1/2	15/8	3/4	-1/8	0	3/8	9/8
_j		0	0	5/2	23/8	29/4	9/8	0	5/8	47/8

Поскольку все оценки положительные _j, то полученное опорное решение является оптимальным: = (9/8, 5/8, 0, 0, 0, 0, 7/8, 0), а максимальное значение целевой функции равно =47/8.

Учитывая соответствие переменных взаимодвойственных задач, можно выписать оптимальное решение двойственной задачи. Значения соответствующих переменных берут из последней строки последней симплекс-таблицы:

с_i	с_j	3	4	1	3	2	0	0	0
с_i	Базисные переменные (БП)	х₁	х₂	х₃	х₄	х₅	х₆	х₇	х₈	b_i
4	х₂	0	1	1/2	3/8	7/4	3/8	0	-1/8	5/8
0	х₇	0	0	-3/2	9/8	-27/4	-7/8	5/8	-3/8	7/8
3	х₁	«1»	0	1/2	15/8	3/4	-1/8	0	3/8	9/8
_j		0	0	5/2	33/8	29/4	9/8	0	5/8	47/8
y_i		y₄	у₅	у₆	у₇	у₈	y₁	y₂	y₃

Таким образом, = (9/8, 0, 5/8, 0, 0, 5/2, 33/8, 29/ 4), поскольку y₁  x₆, y₂  x₇, y₃  x₈, y₄  x₁, y₅  x₂, y₆  x_3
, y₇  x₄, y₈  x₅. Значение целевой функции = 47/8.

Экономический смысл всех переменных, участвующих в решении

Экономический смысл переменных, участвующих в решении отражен в таблице

Компоненты оптимального решения ПЗЛП

План производства

Остатки ресурсов, единиц

Превышение затрат на ресурсы над ценой реализации (возможный убыток от производства продукции)

Объективно обусловленные оценки ресурсов (теневые, условные, скрытые цены ресурсов)

Компоненты оптимального решения ДЗЛП

Экономический смысл переменных:

x₁^*, x₂^*, x₃^*, x₄^*, x^*₅, -основные переменные - оптимальный план производства;

x₆^*, x^*₇, x₈^*- дополнительные переменные - остатки ресурсов;

y₁, y₂, y₃ -основные переменные - скрытые цены;

y₄, y₅, y₆ y₇, y₈ -дополнительные переменны – превышение затрат на ресурсы над ценой реализации (возможный убыток от производства продукции).

Б. Двойственный симплекс-метод.

Таблица 1 – Шаг 1 симплекс-метода

-6

-4

-3

-16

-4

-18

-1

-2

-3

-12

-2

Таблица 2 – Шаг 2 симплекс-метода

1/6

-1/2

1/3

-1/3

-3/2

1/6

1/2

-7/6

7/3

-1

-3

2/3

-2/3

-4/3

-8/3

-2

-3

-2

-1/3

1/3

-2

1/3

8/3

Таблица 3 – Шаг 3 симплекс-метода

-1/2

2/3

-1/2

-2/3

-1/3

1/3

-3/2

1/6

-1/3

-7/6

1/3

-7/3

-1

-4

2/3

-2

-3

-2/3

-2/3-

-2/3

-4/3

-2

7/3

1/3

-1/3

1/3

8/3

-4/3

Таблица 4 – Шаг 4 симплекс-метода

-1

-3/4

-1/4

-1/2

-1/4

-3/2

1/2

-1/2

-1

7/2

-3/2

3/2

-1

-3/2

-2

9/2 -

-3

-3/2

0 --6

-2/3-1-1

-5

-3/2

3/2

-7/2

7/2

1/2

-1/2

-2

Таблица 5 – Шаг 5 симплекс-метода

3/4

1/4

3/2

1/2

-7/2

7/2

3/2

-3/2

-1/4

-6

3/4

-1

-3

5/4

-2

7/4

-1/2

3/2

1-/3

- 1-1/4

7/4

-3/2

3/2

-7/2

-9/4

1/2

3/4

9/4

3/4

Таблица 6 – Шаг 6 симплекс-метода

4/3

1/3

-1/3

1/3

2/3

4/3

14/3

8/3

-1/3

4/3

5/3

-8/3

-18

7/3-

-7/3

-2/3

-1

-1/3-

2-4

7/3

58/3

-3

1/2

3/4

5/3

47/3

Таблица 7 – Шаг 7 симплекс-метода



3/4	-1/8	3/8	15/8	1/2	9/8
7/4	3/8	-1/8	3/8	1/2	5/8
-27/4	-7/8	-3/8	9/8	-3/2	7/8
29/4	9/8	5/8	33/8	5/2	47/8

Таблица 8 – Экономический смысл оптимальных решений ПЗЛП и ДЗЛП

Компоненты оптимального решения

П₁

П₂

П₃

П₄

П₅

Излишки ресурсов

ПЗЛП

Х1*

Х2*

Х3*

Х4*

Х5*

Х6*

Х7*

Х8*

9/8

5/8

7/8

ДЗЛП

5/2

33/8

29/4

9/8

5/8

У4*

У5*

У6*

У7*

У8*

У1*

У2*

У3*

Превышение затрат на производство единицы продкции в скрытых ценах ресурсов над ценой

Скрытые цены ресурсов

Компоненты оптимального решения

Экономический смысл переменных:

x₁^*, x₂^*, x₃^* , x₄^*,x₅^*-основные переменные - оптимальный план производства,

x₆^*, x₇^*- дополнительные переменные - изменение ресурсов,

y₁,y₂,y₃-основные переменные - скрытые цены.

y₄,y₅,y₆y₇,y₈-дополнительные переменны – избытки от производства (издержки, не вошедшие в план производства).

Анализ решения ПЗЛП

Подставим оптимальные значения переменных x^* и y_* в исходные системы ограничений неравенств ПЗЛП и ДЗЛП соответственно.

После подстановки в систему уравнений получены следующие результаты:

Изделия П1 и П2 вошли в оптимальный план, убытки от их производства равны 0.

От производства изделия П3 организация потерпит убыток 2,5 , от производства изделия П4 убыток составит 4,125, от производства изделия П5 организация потерпит убыток в размере 7,25. Эти изделия не вошли в оптимальный план производства.

4.Анализ решения ДЗЛП

Ресурсы Р₁ и Р₃ используются полностью. Избыток ресурса Р₂ равен 0,875.

5. Ресурсы, которые используются полностью, называются дефицитными. Признаком дефицитности ресурсов является отличие от нуля соответствующей данному ресурсу двойственной переменной и равенство нулю соответствующей дополнительной переменной.

Таблица 9 – Анализ изменения ресурса Р₁

			Комментарии
			Комментарии
-1/8	9/8-1/8	9/8-1/8	Выпуск продукции уменьшится на 1/8 x₁^*=1,25
3/8	5/8+3/8	5/8+3/8	Выпуск продукции увеличится на 3/8 x₂^*=1
-7/8	7/8-7/8	7/8-7/8	Избыток ресурса уменьшится на 7/8 x
9/8	47/8	47/8+9/8	Доход возрастет на 9/8 f₀(x*)=7

Составим систему неравенств, исходя из того, что при изменении ресурсов структура оптимального плана производства должна измениться.

Таблица 10 – Анализ изменения ресурса Р₃

			Комментарии
			Комментарии
3/8	9/8+3/8	9/8+3/8	Выпуск продукции увеличился на 3/8
-1/8	5/8-1/8	5/8-1/8	Выпуск продукции уменьшился на 1/8
-3/8	7/8-3/8	7/8-3/8	Избыток ресурса уменьшится на 3/8
5/8	47/8	52/8	Доход возрастет на 5/8

6. Избыток ресурса Р₂ x₇*=7/8 определяется значением соответствующей дополнительной переменной. Фактическое использование равно:

5-0,875=4,125 единиц.

7. Изменение цены рассматривается при условии, что значение переменных оптимального плана не изменяются количественно и структурно. Проводится для продукции, вошедшей в оптимальный план, при условии, что структура оптимального решения двойственной задачи не изменится.