Вопрос 4

Интервал изоляции корня [ xt, х2 ] предполагается известным.

Что называется интервалом изоляции корня уравнения.

Если на интервале изоляции корня график функции ysj ( x) заменить ее хордой, то точка пересечения хорды с осью абсцисс дает приближенное значение корня.

Таким образом, интервал изоляции корня определен. 

Далее производится сужение интервала изоляции корня.

На первом этапе определяются интервалы изоляции корней, а на втором этапе производится уточнение этих корней с помощью численных методов для достижения заданной степени точности нахождения корней уравнения.

Блок-схема программы решения уравнения методом хорд и касательных.

Второй оператор вставлен для сохранения неизменными первоначальных границ интервала изоляции корня. 

Пусть М - наибольшее значение модуля второй производной f ( х) на интервале изоляции корня: ] / ( х) М, величина / ( х0) больше единицы и А, / гь / г - hi малы. 

Предположим, что уравнение (4.1) записано в виде (4.2) и функция ф ( х) дифференцируема в интервале изоляции корня. 

Требуется с заданной точностью е уточнить границы корня и найти корень уравнения х, равный 0 5 ( а Ь), где а, Ь - уточненные границы интервала изоляции корня.

Будем считать, что интервал [ xt, x2 ] удалось выбрать настолько малым, что в нем лежит только один корень уравнения f ( x) Q; такой интервал назовем интервалом изоляции корня. То, что выбранный интервал является интервалом изоляции, обычно удается проверить при помощи пр. 

Будем считать, что интервал [ х1; х % ] удалось выбрать настолько малым, что в нем лежит только один корень уравнения f ( x) Q; такой интервал назовем интервалом изоляции корня. То, что выбранный интервал является интервалом изоляции, обычно удается проверить при помощи производной / ( х): если она сохраняет постоянный знак, то функция f ( x) в этом интервале монотонна и график ее пересекает ось абсцисс только один раз. 

Согласно первому условию корень на интервале х, х2 ] существует, и по второму условию, равносильному требованию монотонности f ( x) при изменении х, этот корень на интервале [ jclt хг ] единственный. Такой интервал называется интервалом изоляции корня. 

Затем рассчитывается значение отклоняющей силы для полученного радиуса кривизны скважины. Если отклоняющая сила не равна нулю, то после уменьшения интервала изоляции корня расчет по приведенной выше формуле (7.75) повторяют. [1]

Оценивая достигаемую эффективность использования методов приближенного решения уравнений, следует отметить, что наиболее эффективным, и потому наиболее распространенным, является метод Ньютона. Его применяют для решения любого уравнения с одним неизвестным, но он особенно удобен при решении многочленных уравнении высоких степеней. Правда, эффективное использование этого метода требует предварительного знания приближенного значения корня или хотя бы порядка его величины. Метод хорд менее эффективен, но его удобно использовать для решения уравнений, когда порядок величины корня неизвестен и за начальное приближение корня берут одно из крайних значений интервала изоляции корня. Метод пробных подстановок является самым простым из рассмотренных, и при удачном выборе последовательных приближений он тоже может оказаться достаточно эффективным, но все же этот метод целесообразен лишь для определения порядка величины корня. Очень эффективен комбинированный метод, основанный на совместном использовании различных методов приближенного решения уравнений. Например, если применять совместно метод хорд и метод касательных, то интервал изоляции будет сужаться с обоих концов и это ускоряет процесс вычисления корня с заданной точностью. [2]