Вычисления по методу границ

Если нужно иметь абсолютно гарантированные границы возможных значений вычисляемой величины, используют специальный метод вычислений - метод границ.

Пусть f(x, у) - функция, непрерывная и монотонная в некоторой области допустимых значений аргументов х и у.Нужно получить ее значение f(a, b), где а и b - приближенные значения аргументов, причем достоверно известно, что

НГa<a<ВГa; НГb<b< <="" span="">ВГb.</b<>

Здесь НГ, ВГ - обозначения соответственно нижней и верхней границ значений параметров. Итак, вопрос состоит в том, чтобы найти строгие границы значения f(a, b), при известных границах значений а и b.

Допустим, что функция f(x, у) возрастает по каждому из аргументов x и y. Тогда

f(НГ_а, НГ_b< f(a, b)<f(ВГ_a ВГ_b).

Пусть f(x, у) возрастает по аргументу х и убывает по аргументу у. Тогда будет строго гарантировано неравенство

f(НГ_a ВГ_b)< f(a, b)< f(ВГ_a, НГ_b).

Указанный принцип особенно очевиден для основных арифметических действий. Пусть, например, f(x, у)=х + у.Тогда очевидно, что

НГа+НГb<а + b<ВГa+ВГb.

Точно так же для функции f₂(x, у) = х-у (она по х возрастает, а по у убывает) имеем

НГа-НГb<а - b<ВГa-ВГb.

Аналогично для умножения и деления:

	НГа*НГb<а * b<ВГa*ВГb.
	НГа/ВГb<а / b<ВГa/НГb.

Пример. Вычислите значение где 2,57<=x<=2,58;  1,45<=y<=1,46;  8,33<=z<=8,34

Действие	Содержимое	НГ	ВГ
1	X	2.57	2.58
2	Y	1.45	1.46
3	Z	8.33	8.34
4	x+y	4.02	4.04
5	x-y	1.11	1.13
6	(x-y)z	9.24	9.43
7		2.28	2.35

Пример. В табл.  приведены вычисления по формуле  методом границ. Нижняя и верхняя границы значений a и bопределены из условия, что в исходных данных а = 2,156 и b = 0,927 все цифры верны в строгом смысле (∆a = ∆b =0,0005), т.е. 2,1555<а<2,1565; 0,9265<b<< span="">0,9275.</b<<>

	a	b	ea			b2	a+b2		A
НГ	2,1555	0,9265	8,63220	0,96255	9,59475	0,85840	3,01434	1,10338	8,6894
ВГ	2,15,65	0,9275	8,64084	0,96307	9,60391	0,86026	3,01676	1,10419	8,7041

Рис. Связь между абсолютной погрешностью и границами

Таким образом, результат вычислений значения А по методу границ имеет следующий вид:

8,6894 <А< 8,7041.