11.3. Pазвертка наклонной призмы

 

Гранями призмы (рис. 11.3) являются параллелограммы, поэтому для построения развертки призмы нужно определить натуральную величину каждого параллелограмма. Используя способ замены плоскостей проекций, заменяем плоскость V на V₁, параллельную ребрам призмы. На новой фронтальной проекции ребра призмы изображены в натуральную величину.

Затем строим натуральную величину граней, начиная с грани ABED. Проекцию ребра ВЕ (b₁'е₁') принимаем за ось вращения и за начало развертки. Вращением грани вокруг ребра BE совмещаем ее с плоскостью развертки.

Тогда ребро BE (В₀Е₀ ≡ b₁'е₁') остается на месте, а точки А и D перемещаются в плоскостях, перпендикулярных ребру BE. Проводим из точки а₁' перпендикуляр к ребру В₀Е₀, затем из точки В₀, как из центра, делаем на нем засечку раствором циркуля, равным стороне основания АВ (аb ) и отмечаем совмещенное положение точки А₀. Ребро А₀D₀ равно и параллельно ребру В₀Е₀.

Рис. 11.3

Совместив аналогично все остальные грани призмы, получаем развертку ее боковой поверхности, к которой пристраиваем фигуры нижнего и верхнего оснований.

На рис. 11.3 показано, как определяется на развертке боковой поверхности призмы положение некоторых точек I и II, принадлежащих ее поверхности. Точка II расположена непосредственно на ребре BE, а точка I − на невидимой грани AСDF. Для построения точки I проведена вспомогательная прямая KN, найдена ее проекция на плоскости V₁, а затем ее совмещенное положение K₀N₀. В той же последовательности определяется и положение точки II.

11.4. Развертка наклонного цилиндра

11.4. Развертка наклонного цилиндра

 

Рис. 11.4

 

Приближенная развертка боковой поверхности наклонного цилиндра с основаниями показана на рис. 11.4.

Тема 12. Касательные линии и плоскости к поверхностям

12.1. Прямые, касательные к поверхностям

12.1. Прямые, касательные к поверхностям

 

Понятие касательной прямой к поверхности основано на определении касательной к плоской и пространственной кривой.

Касательной t в точке М плоской кривой l будем называть предельное положение секущей ММ¹, когда М¹,оставаясь на линии l, стремится к точке М (рис. 12.1).

 

 

Рис. 12.1

 

Пусть дана произвольная точка М поверхности. Возьмем точку М', в которой секущая прямая s пересекает поверхность (рис. 12.2). Через точки М, М' проведем некоторую плавную кривую q. Будем приближать точку М' к точке М по кривой q до их совпадения.

 

 

Рис. 12.2

 

Предельное положение прямой, пересекающей поверхность в двух точках, когда точки пересечения совпадают, представляет касательную к поверхности. Через точку поверхности проходит бесчисленное множество кривых qⁱ,каждая из которых имеет в точке М свою касательную. По определению любая из этих касательных будет в то же время касательной к поверхности. Отсюда следует, что через точку поверхности проходит бесчисленное множество касательных. 

12.2. Плоскости, касательные к поверхностям

12.2. Плоскости, касательные к поверхностям

 

В дифференциальной геометрии доказывается, что все касательные, проведенные в обыкновенной точке поверхности, лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью к поверхности Ф в данной точке М.Следовательно, касательная плоскость является геометрическим местом всех касательных, проходящих через данную точку поверхности.

Очевидно, что для построения плоскости, касательной к поверхности в данной ее точке, достаточно через нее провести две касательные к двум кривым, проходящим через ту же точку поверхности.

Плоскости, касательные к поверхности, могут быть построены при различных исходных условиях. Касательная плоскость может быть проведена различным образом:

1. через точку, лежащую на линейчатой поверхности;

2. через точку, принадлежащую нелинейчатой поверхности вращения;

3. через точку, заданную вне поверхности;

4. параллельно прямой, заданной вне поверхности.

Рассмотрим некоторые примеры построения касательных плоскостей к линейчатым поверхностям и поверхностям вращения.

Задача 1. Построить плоскость, касательную к поверхности вращения в заданной точке К (k, k') (рис. 12.3).

Выберем пару наиболее простых линий, проходящих через заданную точку. Это будут параллель (окружность) и меридиан. Так как параллель лежит в горизонтальной плоскости уровня, то касательная к ней КН будет горизонталью.

Для построения касательной KD к меридиану, проведенному через точку К, применим метод вращения. Для этого повернем меридиан до положения главного меридиана. Тогда и точка К будет лежать на главном меридиане. Построим к ней касательную и отметим ее точку пересечения с осью поверхности вращения. Далее повернем построенную касательную в исходное положение. Таким образом касательная плоскость определится линией уровня КН и прямой KD, которая является линией ската.

 

 

Рис.12.3

 

Задача 2. Построить плоскость, касательную к конусу и параллельную прямой L (рис. 12.4).

Любая плоскость, касательная к поверхности конуса, должна проходить через его вершину. Чтобы выполнить также и условие параллельности прямой l, необходимо провести через вершину конуса вспомогательную прямую, параллельную заданной прямой, и построить ее след на плоскости основания конуса. Затем через полученную точку проводим прямыеР_Н и Q_H, касательные к основанию конуса, - горизонтальные следы искомых плоскостей, которые касаются конуса по образующим S1 и S2.

 

 

Рис. 12.4

 

Задача 3. Построить плоскость, касательную к наклонному цилиндру и параллельную прямой L (рис. 12.5).

Для определения следов касательной плоскости построена плоскость АММ₁, параллельная заданной прямой L и образующим цилиндра. Параллельно следу S_H этой плоскости проводим следы Р_Н  и Q_H  касательных плоскостей, а из точек касания 1 и 2 - образующие цилиндра, по которым искомые плоскости касаются поверхности цилиндра.

 

 

Рис. 12.5