Раздел 25.3. Задачи статистики и соответствующие группы критериев

Вернемся к обсуждению задач статистики и соответствующих критериев.

Замечание 25.3.1. Мы рассмотрим постановку задачи в самом простом варианте. На самом деле ситуация с формулировкой статистической гипотезы, а также использования критерия более сложная.

(Гипотезы можно разделить на простые и сложные, направленные и ненаправленные, критерии, в том числе и на параметрические и непараметрические)

1.Задача согласия. Критерии согласия

Эта группа задач крайне важна, так как для решения многих других статистических задач требуется, для соответствия требуемым условиям, проверить вид распределения, в первую очередь это касается нормального закона распределения.

Рассмотрим постановку задачи на примере критерия Колмогорова.

Сформулируем сначала теорему Гливенко

Для произвольной функции распределения F(x) имеет место сходимость

D_n  0 (почти наверное)

Где D_n статистика Колмогорова

- эмпирическая (выборочная) функция распределения

I_A (x) - функция индикатор, равная 1, если x  A и x A.

На рисунке изображен случай равномерного распределения на [0, 1]

По §23 А.Н.Бородин «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики».

Значения статистики Колмогорова приводятся в соответствующих таблицах.

Также часто используемыми критериями согласия являются критерии Пирсона ( ²) и Фишера.

2. Задача однородности. Критерии однородности

Критерий Смирнова. (по М.Б.Лагутин «Наглядная математическая статистика»)

Т.е D_n,m – расстояние между эмпирическими функциями выборок.

Слишком большое расстояние противоречит основной гипотезе Н₀.

Н.В,Смирнов в 1939 г. Показал, что, если гипотеза Н₀ верна, то имеет место сходимость

где К(х) – функция распределения Колмогорова (см п.1)

При рассмотрении задачи однородности часто используются критерий знаков, критерии Уилкоксона, Манна-Уитни и др.

3. Задача симметрии. Критерий симметрии

Необходимость проверки гипотезы возникает в тех случаях, когда ничего не известно о характере распределения, а также в случаях оценки остатков регрессионной модели, в дисперсионном анализе. Обсудим задачу в самом общем виде.

H₀ : F(x) = 1 – F(x-a), или ρ(х) = ρ(х-а)

H₁ : F(x) ≠ 1 – F(x-a)

Иначе говоря, основная гипотеза утверждает, что плотность распределения симметрична и центром симметрии является точка а

Для решения задачи вводятся величины z_i =|x_i – a| - преобразования наблюдения, из них составляется вариационный ряд и его членам присваиваются («абсолютные относительно точки а») значения

Такое преобразование сводит рассмотрение задачи симметрии к проверке гипотезы однородности двух выборок, образованных, соответственно, левым и правым (относительно а) «хвостами» исходного распределения. Что достигается использованием ранговых критериев однородности (например, (одновыборочный) критерий Вилкоксона)).

4. Задача независимости. Критерии независимости. Данные вопросы рассмотрены в тексте следующей темы

В заключении приведем таблицу из книги Е.В.Сидоренко «Методы математической обработки в психологии». Наряду с названием задачи статистики, при выборе соответствующего критерия можно руководствоваться альтернативой: параметрический – непараметрический критерий. Например, решать вопрос о неразличии при известном классе распределения можно сравнением параметров распределения.

Параметрические критерии – это группа критериев, включающих в формулы для расчетов параметры распределения – математическое ожидание (например, t-критерий) и дисперсию (например, критерий Фишера)

Непараметрические критерии – не включают в расчетную формулу параметры, а основываются на частотах и рангах.

Замечание 25.3.1. Большая часть и соответствующих критериев относится , таким образом, к непараметрическим

Параметрические критерии	Непараметрические критерии
1. Позволяют прямо оценить различия в средних, полученных в двух выборках (t - критерий Стьюдента).	Позволяют оценить лишь средние тенденции, например, ответить на вопрос, чаще ли в выборке А встречаются более высокие, а в выборке Б - более низкие значения признака (критерии Q, U, φ* и др.)
2. Позволяют прямо оценить различия в дисперсиях (критерий Фишера).	Позволяют оценить лишь различия в диапазонах вариативности признака (критерий φ*).
3. Позволяют выявить тенденции изме- нения признака при переходе от условия к условию (дисперсионный однофакторный анализ), но лишь при условии нормального распределения признака	Позволяют выявить тенденции изменения признака при переходе от условия к условию при любом распределении признака (критерии тенденций L и S).
4. Позволяют оценить взаимодействие двух и более факторов в их влиянии на изменения признака (двухфакторный дисперсионный анализ).	Эта возможность отсутствует.
5. Экспериментальные данные должны отвечать двум, а иногда трем, условиям: а) значения признака измерены по интервальной шкале; б) распределение признака является нормальным; в) в дисперсионном анализе должно соблюдаться требование равенства дисперсий в ячейках комплекса.	Экспериментальные данные могут не отвечать ни одному из этих условий: а) значения признака могут быть пред- ставлены в любой шкале, начиная от шкалы наименований; б) распределение признака может быть любым и совпадение его с каким-либо теоретическим законом распределения необязательно и не нуждается в проверке; в) требование равенства дисперсий отсутствует.
6. Математические расчеты довольно сложны.	Математические расчеты по большей части просты и занимают мало времени (за исключением критериев χ2 и λ).
7. Если условия, перечисленные в п.5, выполняются, параметрические критерии оказываются несколько более мощными, чем непараметрические.	Если условия, перечисленные в п.5, не выполняются, непараметрические критерии оказываются более мощными, чем параметрические, так как они менее чувствительны к "засорениям'.

Дополнение. Немного истории.

Из книги Г.Секей «Парадоксы теории вероятностей и математической статистики», глава II «Парадоксы статистики»,