Раздел 25.1 Задачи статистики. Понятие статистической гипотезы

Статистическая проверка гипотез является вторым после статистического оценивания параметров распределения и в то же время важнейшим разделом математической статистики.

Методы математической статистики позволяют проверить предположения о законе распределения некоторой случайной величины (генеральной совокупности), о значениях параметров этого закона (например ЕХ, DХ ), о наличии корреляционной зависимости между случайными величинами, определенными на множестве объектов одной и той же генеральной совокупности.

Полученные в результате эксперимента на некоторой выборке данные служат основанием для заключения о генеральной совокупности (случайной величине Х). Однако в силу действия случайных вероятностных причин заключение о генеральной совокупности, сделанное на основании экспериментальных (выборочных) данных, всегда будут содержать некоторую погрешность, и поэтому подобные заключения должны рассматриваться как предположения (гипотезы, Н), а не окончательные утверждения.

Определение 25.1.1

Подобные предположения о свойствах и параметрах генеральной совокупности получили название статистических гипотез.

Суть проверки статистических гипотез заключается в том, чтобы установить, согласуются ли экспериментальные данные и выдвинутая гипотеза, допустимо ли отнести расхождение между гипотезой и результатом статистического анализа экспериментальных данных за счет случайных причин.

Итак, сформулируем вышесказанное более формально.

Предположим, что функция распределения величины Х нам неизвестна, но мы располагаем случайной выборкой . По наблюдениям выборки мы хотим дать ответ на вопрос : совпадает функция распределения F(x) с некоторой наперед заданной функцией распределения F₀(x) или нет. В таком случае речь идет о проверке статистической гипотезы согласия. Используя наблюдения выборки , нужно либо принять, либо отвергнуть гипотезу о том, что функция распределения F(x) совпадает с заданной функцией распределения F₀(x) .

Определение 25.1.2. Правило принятия одного из этих двух решений называется статистическим критерием или просто критерием (см.определение 25.1.4). В качестве функции F₀(x) обычно выбирается одно из известных распределений (его функция распределения), скажем, экспоненциальное, нормальное и т.д. с известными параметрами.

Пусть имеется выборка является реализацией случайной выборки из генеральной совокупности Х, плотность распределения которой ρ (t,θ) зависит от неизвестного параметра θ

Статистические гипотезы относительно неизвестного истинного значения параметра θ называют параметрическими гипотезами. При этом если θ скаляр, то речь идет об однопараметрических гипотезах, а если вектор, — то о многопараметрических гипотезах.

Статистическую гипотезу Н называют простой, если она имеет вид

Н: , где - некоторое заданное значение параметра

Статистическую гипотезу называют сложной, если она имеет вид

Н: , где D – некоторое множество значений параметра θ, состоящее более чем и одно параметра.

Примеры 25.1.1

1. Предположим, проводится серия из n независимых испытаний по схеме Бернулли с неизвестным параметром р, где р – вероятность «успеха» водном испытании. Тогда гипотеза Н: р=1/2 является простой. Примерами сложных гипотез являются , например, такие: Н₂: р  ½, H₃ : p ½, Н ₄:¼ p  ¾ и т.д.

2. Пусть - случайная выборка объема n из генеральной совокупности Х, распределенной по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием а и известной дисперсией σ² . Тогда Н: а=а₀ , где а₀ – некоторое заданное значение параметра а, является простой. Гипотезы Н₁ : а≥ а₀ , Н₂ : а ≤ а₀ , Н₃ : а₀ ≤ а ≤а₁ являются сложными.

Пусть теперь неизвестны оба параметра – а и σ. В этом случае гипотеза Н: а=а₀ становится сложной, так как ей соответствует множество значений двумерного вектора

= (а, σ ), для которых а=а_0, , 0 < σ < σ

Мы будем рассматривать самый простой вариант постановки задачи – формулировку простой гипотезы

Пусть по некоторым данным имеются основания выдвинуть предположения о законе распределения или о параметре закона распределения случайной величины (или генеральной совокупности, на множестве объектов которой определена эта случайная величина). Задача заключается в том, чтобы подтвердить или опровергнуть это предположение, используя выборочные (экспериментальные) данные.

Определения 25.1.3.. Гипотезы о значениях параметров распределения или о сравнительной величине параметров двух распределений называются параметрическими гипотезами.

Гипотезы о виде распределения называются непарамет­рическими гипотезами.