2.1. Методика выполнения задания 1

Требуется определить статистические вероятности безотказной работы Р(t) и отказа Q(t) устройства для заданного значения t указанного в таблице 1. Далее необходимо рассчитать значение вероятности безотказной работы Р(t) по первым 20 значениям наработки до отказа, указанным для соответствующего варианта в таблице 1.

Наработка исследуемых топливных форсунок до отказа есть непрерывная случайная величина τ. По результатам испытания (наблюдения и эксплуатации) партии из N устройств получена дискретная совокупность из n значений τ_1,...,τ_i,..., τ_n, указанных в таблице 1. Здесь n - число приведенных значений наработки до отказа в таблице. 1.

Статистически вероятность безотказной работы устройства для наработки t определяется по формуле:

, (1)

где N_P(t) - число объектов, работоспособных на момент времени t.

Для определения N_P(t) из таблицы 1 следует выбрать значения τ_i., которые не превышают t (в таблице 1) и подсчитать их количество. Тем самым будет найдено количество неработоспособных изделий, отказавших до момента времени t N_НР(t). Вычитая из объема партии N число неработоспособных изделий, найдем число работоспособных N_P(t).

Вероятность отказа устройства за наработку t статистически определяется по формуле:

, (2)

где N_НР(t) - число объектов, неработоспособных к наработке t.

Поскольку N_P(t) + N_НР(t)= N, нетрудно видеть, что сумма вероятностей P(t)+Q(t) = 1. Подсчет этой суммы используется для проверки правильности вычислений.

Оценку вероятности безотказной работы устройства по первым 20-ти значениям наработки до отказа обозначим как Р*(t). Ее значение определяется также по формуле (1), но при этом N = 20, и число работоспособных объектов N_p(t) выбирается из этой совокупности.

2.2. Методика выполнения задания 2

Требуется рассчитать среднюю наработку до отказа Т₀ рассматриваемых форсунок. Первоначально вычисления произвести непосредственно по выборочным значениям τ_i, указанным в таблице 1, а затем с использованием статистического ряда.

Для вычислений среднего значения случайной величины Т₀ непосредственно по ее выборочным значениям τ_1,...,τ_i,..., τ_n используют формулу:

, (3)

Уточним, что здесь n равно числу значений τ_i в таблице 1 для заданного варианта.

Значительно упростить и ускорить вычисления можно путем использования преобразования результатов наблюдений (совокупности значений τ_i) в статистический ряд. С этой целью весь диапазон наблюдаемых значений t делят на m интервалов и подсчитывают число значений n_i, приходящихся на каждый интервал. Результаты такого подсчета удобно записывать в форме, соответствующей таблице 3.

Длины Δt всех интервалов чаще всего принимают одинаковыми, а их число m обычно устанавливают порядка 10. Для выполнения данного задания принято Δt = 3000 ч, a m = 4.

Нижнюю границу интервала Т_c установим, пользуясь крайней правой колонкой таблицы 1.

Последовательно просматривая массив значений τ_i, оценивают, к какому интервалу относится каждое число. Факт принадлежности числа к определенному разряду отмечают чертой в соответствующей строке таблицы. Затем подсчитывают n₁ n₂ n₃ n₄ – число попаданий значений случайной величины (число черточек) соответственно в каждый интервал. Правильность подсчетов определяют, используя следующее соотношение: n₁ + n₂ + n₃ + n₄ = n, где n - количество значений моментов отказов τ_i в таблице 1.

Средину интервала находим как τ_i = (t_н + t_в)/2.

В таблице 3 указаны для примера результаты систематизации в виде статистического ряда из 50 значений случайной величины, распределенной на интервале [Т_c = 2,5·10³ ч; 14,5·10³ч].

Преобразование значений наработки до отказа в статистический ряд.

Таблица 3.

Интервал			Число попаданий на интервал	ni,	Статистическая вероятность qi
№	Нижняя и верхняя границы (tн - tв)103 ч	Средина интервала τi ·103 ч
1	2,5-5,5	4	///// /////	10	0,2
2	5,5-8,5	7	///// ///// ///// /////	20	0,4
3	8,5-11,5	10	///// ///// /////	15	0,3
4	11,5-14,5	13	/////	5	0,1

Статистический ряд можно отразить графически, как показано на рисунке 5.

0,4		0,4
0,35
0,3			0,3
0,25
0,2	0,2
0,15
0,1				0,1
0,05
0
	2,5-5,5	5,5-8,5	8,5-11,5	11,5-14,5

Рисунок 5 - Статистический ряд

С этой целью по оси абсцисс отложены интервалы, и на каждом интервале построен прямоугольник, высота которого равна статистической вероятности попадания случайной величины на данный интервал q_i.

Статистическая вероятность q_i попадания случайной величины на 1-й интервал рассчитывается по формуле: .

Проверить правильность расчетов можно, используя выражение: =1.

Средняя наработка до отказа определяется по формуле:

, (4)

При расчете по формуле (4) может возникнуть ошибка, которая может быть оценена по формуле:

,

где Т_{0(Формула 3)} и  Т_{0(Формула 4)} - средние значения, вычисленные соответственно с использованием формул (3) и (4).