1. Теоретическая часть.

1. Правильные многогранники

Правильные многогранники имеют красивые формы.

Они являются удивительным символом симметрии, издавна привлекавшие внимание выдающихся мыслителей. Так правильные многогранники вдохновили Леонардо да Винчи на создание каркасных моделей из дерева.

Многогранник - это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками - гранями.

Стороны граней называются ребрами, а концы ребер - вершинами. (рис.1)

Рис.1

Правильным называется многогранник, у которого все грани это правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны.

Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. (рис.2)

Рис.2

Всего существует пять правильных многогранников - ни больше ни меньше.

Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником.

Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 °.

Поэтому в одной вершине может сходиться:

правильных треугольников

3 (180 °) - тетраэдр

4 (240 °) - октаэдр

5 (300 °) - икосаэдр

квадратов – 3 (270 °) - куб

пятиугольников – 3 (324°) – додекаэдр

2. Свойства многогранников

Интересное соотношение обнаружил величайший математик Леонард Эйлер. Значительную часть жизни Эйлер провел в России, где оказывал свою помощь в создании российской науки. В 1726 году его пригласили работать в Санкт-Петербург. Здесь он стал академиком Петербургской Академии Наук.  Создан Фонд Эйлера, который  осуществляет программу поддержки одарённых детей "Формула Единства", включающую проведение дистанционных кружков и сезонных образовательных математических лагерей.

Теорема Эйлера:

Число вершин + число граней - число ребер = 2

В + Г – Р = 2

Правильный многогранник	Число граней	Число вершин	Число ребер
Тетраэдр	4	4	6
Куб	6	8	12
Октаэдр	8	6	12
Додекаэдр	12	20	30
Икосаэдер	20	12	30

Тетраэдр - составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников и в каждой вершине сходится по три ребра и по три грани. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180º. У тетраэдра: 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Куб - составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º. У него: 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Октаэдр - составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников и в каждой вершине сходится по четыре ребра и по четыре грани. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º. У октаэдра: 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Додекаэдр - составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º. У додекаэдра:12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Икосаэдр - составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. У него: 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.