8.Проверка на гладкость.

Кривая, заданная векторной функцией , определенной на числовом промежутке I, называется гладкой класса , если векторная функция имеет непрерывные производные до порядка k включительно и . (В.П.Толстопятов Линии и поверхности в евклидовом пространстве)

Следовательно, для того, чтобы показать, является ли параметризация нашей кривой гладкой, нужно решить систему:

Если эта система решений не имеет, то данная параметризация кривой является гладкой.

При t=0 система имеет решение. Таким образом, гладкость нарушена в точке O (0;0).Точка возврата I рода.

9.Касательные, параллельные осям координат.

Пусть - гладкая кривая, заданная уравнением .

Зафиксируем точку и рассмотрим произвольную прямую , проходящую через эту точку. Пусть произвольная точка линии , – её расстояние до прямой .

Прямая называется касательной к линии в точке , если при стремлении к по линии отношение стремится нулю.

Имеет место

Т е о р е м а. Гладкая кривая имеет в каждой своей точке касательную, причем единственную.

При доказательстве этой теоремы расстояние можно найти как длину вектора и использовать при этом формулу Тэйлора.

Расстояние можно найти как высоту параллелограмма, построенного на векторе и направляющем орте прямой . Тоесть .

Тогда получим, что тогда и только тогда, когда , то есть направляющий орт касательной коллинеарен вектору . Таким образом, направляющим вектором касательной к гладкой кривой в точке является вектор .

а) горизонтальные:

(0)=(0; 0)

( ) =( ; )

( )=( ; )

В этих точках горизонтальные касательные касаются графика функции (t).

б) вертикальные

В этих точках вертикальные касательные касаются графика функции (t).

10.Обыкновенные точки, подозреваемые на перегиб.

считается непрерывно дифференцируемой в .

называется обыкновенной, если , в противном случае точка - особая.

Теорема. Если - обыкновенная точка по линии 𝜸, то прямая l, проходящая через с направляющим вектором определена однозначно.

Пусть - первая, отличная от нуля производная в точке M и - первая из производных, неколлинеарных вектору . Тогда возможны следующие случаи:

1) p – нечетное, q – нечетное. Следовательно, M – точка перегиба

2) p – нечетное, , q – четное. Следовательно, образ кривой имеет такой же вид, как окрестность обыкновенной точки.

3) p – четное, q – нечетное. Следовательно, точка M – точка возврата 1 рода.

4) p – четное, q – четное. Следовательно, точка M – точка возврата 2 рода.

Найдем вторую производную:

Достаточное условие перегиба:

Первая и вторая производные коллинеарны тогда и только тогда, когда их определитель равен нулю:

=0

t=0

t=1-эта точка не входит в область определения.

(0)=(0;0)

p=2

(0) q=3.

Получили, что (0)=(0;0) является точкой возврата I рода.

11.Таблица поведения кривой.

t	X(t)	Y(t)	k
				симметрия кривой относительно оси Ох установлена
0	0	0		точка пересечения с осями Ох и Оу
+	-1	+		Вертикальная асимптота
-	-1	-		Вертикальная асимптота
y=x- при y=-x+ при					Наклонные асимптоты
				Касательная параллельная Ох
-				Касательная параллельная Ох
0	0	0		Точка возврата I рода
-0,5	0,33	-0,17		Точка пересечения кривой с асимптотой
0,5	0,33	0,17		Точка пересечения кривой с асимптотой