1.Область определения.

Областью определения называется множество, на котором задается функция.

Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует функция, называется областью определения.

Пусть задано отображение

f: X→Y.

Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f).

Если функция задана параметрически, то

Найдем область определения для нашей кривой:

;-1) (-1;1) (1;+ )

(- ;-1) (-1;1) (1;+ )

Таким образом, (- ;-1) (-1;1) (1;+ ).

"Концы": - , -1-0, -1+0, 1-0, 1+0, +

Область определения R, кроме t=

Получили, что кривая состоит из трёх ветвей

2.Симметрия относительно осей координат, начала координат и прямой y=x.

1) Симметрия относительно осей Ох и Oy.

Две точки А и А₁ называются симметричными друг другу относительно прямой m, если прямая m перпендикулярна отрезку АА₁ и проходит через его середину. Прямую m называют осью симметрии.

При сгибании плоскости чертежа по прямой m – оси симметрии симметричные фигуры совместятся.

Симметрия относительно оси Ox:

x(t) = x(-t)

y(t) =- y(-t)

Если x(t) x(-t) или y(t) -y(-t), то кривая не симметрична относительно оси Ox

Симметрия относительно оси Oy:

x(t) = -x(-t)

y(t) =y(-t)

Если x(t) x(-t) или y(t) y(-t), то кривая не симметрична относительно оси Oy.

1. Относительно оси Ох. Достаточное условие симметрии:

x(-t)=x(t)

y(-t)=-y(t)

Следовательно, кривая симметрична относительно оси Ох.

2. Относительно оси Оу. Достаточное условие симметрии:

x(-t)=-x(t)

y(-t)=y(t)

т.е. х(t) не является нечетной.

, т.е. у(t) не является четной.

Таким образом, симметрия относительно Оy не установлена.

2) Симметрия относительно начала системы координат.

Достаточное условие симметрии:

x(t) = -x(-t)

y(t) = -y(-t)

Если x(t) -x(-t) или y(t) -y(-t), то кривая не симметрична относительно начала системы координат.

По доказанному ранее уже известно, что x(t) является четной функцией, т.е.

x(-t)= x(t).

В связи с этим, симметрия относительно начала координат не установлена.

3) Симметрия относительно прямой у=х

Пусть М(х(t), y(t))

M´ симметрична М относительно прямой y=x

Тогда M (y(t), x(t))

Это означает, что существует t₁:M (x(t₁), y(t₁))

t₁ – функция от t должна быть биекцией D на себя, тогда

x (t) = y(t₁) y(t) = x(t₁)

Чтобы определить симметрию относительно прямой y=x, нужно решить следующую систему:

→

Если подставить в данную систему t = , то система не имеет решение. Симметрия относительно прямой у=х не установлена.

3. Точки самопересечения.

M (x(t), y(t)) называется точкой самопересечения, если существует такое значение параметра t, что

Чтобы найти точки самопересечения, решим следующую систему уравнений:

(1)

(2)

Разделим уравнение (1) на уравнение (2) почленно:

; нет точек самопересечения.

4. Точки пересечения с осями координат.

А) Найдем точки пересечения γ с осью Оy:

;

;

Итак, точка О (0;0) – точка пересечения γ с Оy.

Б) Найдем точки пересечения γ с осью ox:

;

;

Итак, точка О (0;0) – точка пересечения γ с Ох.

Таким образом, имеем точку пересечения с осями координат:

О (0;0)- точка пересечения γ с Ох и Оу.

5. Поведение на «концах» области определения.

Вычисляем односторонние пределы на концах интервала и (или) пределы на бесконечности. Таким образом, мы исследуем поведение функции на интервале или на бесконечности. 

О.О.Ф.: (- ;-1) (-1;1) (1;+ ).

1. D_x(t)= )=(- ;-1) (-1;1) (1; )

2. D_y(t)=(- ;-1) (-1;1) (1; )

6.Уходы в бесконечность.

; ;

Имеем уход в бесконечность при и .

7.Асимптоты.

Если линия (1)

Допускает асимптоту при , уравнение которой

,то

Если линия (1) допускает вертикальную асимптоту, то уравнение последней имеет вид

, где

( Воднев В.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии, стр. 37)

1. наклонные асимптоты: прямая y=kx+b служит асимптотой для γ при 1)

.

Получаем наклонную асимптоту

2)

Получаем наклонную асимптоту y= .

Горизонтальных асимптот нет.

2. вертикальные асимптоты: прямая х = а служит асимптотой для γ при Таким образом, х=-1- вертикальная асимптота.

Найдем точки пересечения наклонных асимптот с кривой.

1. наклонная асимптота :

Подставим в данное уравнение вместо x и у , x(t) и y(t):

Получаем, что - эта точка не входит в область определения и . Найдем и :

Точка (0,33; -0,17)- точка пересечения кривой с данной асимптотой.

2. наклонная асимптота y= :

Подставим в данное уравнение вместо x и у , x(t) и y(t):

Получаем, что - эта точка не входит в область определения и . Найдем и :

Точка (0,33; 0,17)- точка пересечения кривой с данной асимптотой.