Задания в7: рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения
В заданиях В7 предложены несложные рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические или тригонометрические уравнения.
При выполнении операций над любыми уравнениями, которые могут привести к новому уравнению, неравносильному исходному уравнению, помните, что:
1) сокращение обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней уравнения;
2) при возведении обеих частей уравнения в квадрат (вообще в четную степень), а также при умножении на множитель, содержащий неизвестное и обращающийся в нуль при действительных значениях неизвестного, могут появляться посторонние корни.
Рациональные уравнения
Уравнение f(x) = g(x) называется рациональным, если f(x) и g(x) – рациональные выражения. Если f(x) и g(x) – целые выражения, то уравнение называется целым. Например, целыми являются линейные, квадратные уравнения.
Если же хотя бы одно из выражений f(x), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называется дробным (или дробно-рациональным).
В7. Найдите корень уравнения
Решение:
;
В бланк ответов: В7
-
2
5
|
.
Пример 1 (Линейное уравнение).
Пример 2 (Квадратное уравнение).
В7.Найдите корень уравнения х2 - 13х + 36 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них. Решение: Здесь а = 1, b = -13, с = 36.
Имеем
Итак,
В бланк ответов: В7
4
|
2
корня, которые найдем по формуле:
т.е.
- корни заданного уравнения. Меньший
из них 4.
Чтобы решить дробно-рациональное уравнение, нужно:
1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;
2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;
3) решить полученное целое уравнение;
4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Уравнения, примеры 1-11
Содержание
Пример 3 (Дробно-рациональное уравнение).
В7.Найдите корень уравнения
Решение: Умножим обе части уравнения на х - 6, получим: х+36 = -5(х-6), х+36 = -5х +30,
х+5х = 30-36, 6х = -6, х = -1. Осталось
проверить, обращает ли найденный
корень в нуль выражение х-6, т.е.
проверить выполнение условия х-6
-1-6 = -7, значит, х = -1 является корнем уравнения. В бланк ответов: В7
-
1
|
0.
Пример 4 (Дробно-рациональное уравнение).
В7. Найдите корень уравнения
Решение: Умножим обе части уравнения на х - 10, получим: х(х-10) = -7х+40, х2-10х = -7х+40, х2-10х +7х-40=0, х2-3х -40=0, где а = 1, b = -3, с = -40.
Имеем
Итак,
Осталось проверить, обращают ли найденные корни в нуль выражение х-10, т.е. проверить выполнение условия х-10 0. 8 - 10 = -2; - 5 – 10 = -15 , значит, являются корнями уравнения. Меньший из них -5. В бланк ответов: В7
-
5
|
.
Если уравнение имеет более одного
корня, в ответе укажите меньший из
них.
2
корня, которые найдем по формуле:
т.е.
- корни заданного уравнения.