Предмет и задачи математической статистики

• МС называется наука, занимающаяся разработкой методов получения, описания и обработкой опытных данных с целью изучения закономерностей случайных массовых явлений.

Задачи МС:

Сбор, описание и упорядочение статистического материала. Определение вида распределения для полученных в эксперименте наборов случайных величин. Оценка параметров распределения. Проверка правдоподобия выдвигаемой гипотезы о соответствии статистического материала теоретическим выводам.

• Множество всех изучаемых объектов называется генеральной совокупностью. Число N (конечное или бесконечное) объектов (наблюдений) в совокупности называется её объёмом.

• Множество случайно отобранных объектов называется выборочной совокупностью (выборкой). n – объём выборочной совокупности ( ).

Оцениваемые характеристики рассчитываются для выборки и объявляются оценками характеристик всей совокупности. Чем больше , тем с большим основанием можно судить о свойствах генеральной совокупности.

Различают следующие виды выборок:

• простая или собственно-случайная выборка, при которой из генеральной совокупности случайным образом извлекают по одному объекту;

• механическая выборка, когда элементы отбирают через определённый интервал, например каждая десятая деталь;

• типическая выборка характеризуется случайным отбором элементов из типических групп (например, мнение о прошедших выборах спрашивают у случайно отобранных людей, разделённых по признаку пола, возраста, социального статуса, …);

• серийная выборка, в которую случайным образом отбираются не отдельные элементы, а целые группы совокупности подвергаются сплошному наблюдению (сдача ЕГЭ по математике выпускниками школ).

Используют два способа образования выборки:

• повторный отбор (с возвращением), когда случайно отобранный и уже обследованный объект, возвращается в общую совокупность и теоретически может быть повторно отобран;

• бесповторный отбор, когда отобранный элемент не возвращается в общую совокупность.

§1. Описание и упорядочение статистического материала

1. Статистический ряд. Его первичная обработка

• Таблица, в которой содержатся номера опытов и соответствующие результаты измерений, называется статистическим рядом.

• Значение признака в i–ом опыте называется вариантой (xi).

• Кратностью или частотой варианты называется количество опытов, в которых наблюдалось одно и то же значение варианты. (n – объём выборки)

• Относительной частотой варианты называется отношение кратности варианты к объёму выборки: .

Относительная частота является статистическим аналогом вероятности .

• Дискретным вариационным рядом называется упорядоченный (ранжированный) ряд различных значений признака (в порядке возрастания или убывания) и соответствующих им кратностей или частот.

			…		Σ
			…
			…

Если объём выборки велик, интервал , которому принадлежат все варианты, разбивается на частичные интервалы (чаще одинаковой длины).

Число интервалов k следует брать не очень большим, чтобы после группировки ряд не был громоздким, и не очень малым, чтобы не потерять особенности распределения признака.

Число интервалов может быть определено по формуле Стерджеса: ,

где , значение подбирается целым.

Такой способ определения числа интервалов (1) является лишь рекомендуемым, но не обязательным.

Длина интервала находится по формуле: .

За начало первого частичного интервала, как правило (но не обязательно), выбирается точка .

В первую строку таблицы интервального ряда вписывают частичные промежутки , , …, , имеющие одинаковую длину h, при этом весь интервал должен полностью покрывать все имеющиеся значения признака, т. е. , . Во второй строке вписывают количество наблюдений ( ), попавших в каждый интервал. Таким образом, статистическое распределение примет вид:

			…		Σ
			…
			…

• Интервальный вариационный ряд содержит интервалы разбиения и соответствующую им сумму кратностей или частот вариант, которые попали в данный интервал разбиения.

Накопленные кратности (относительные частоты ) для каждого интервала находятся последовательным суммированием кратностей (относительных частот) всех предшествующих интервалов, включая данный. Накопленная кратность показывает, сколько наблюдалось вариантов со значением признака, меньшим чем х.