Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»

1 (1).Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Используем I признак сравнения. Так как , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд .

1. (2)Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Используем I признак сравнения. Так как , а ряд сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится.

1. (3)Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Применим предельный признак сравнения, возьмем , который расходится, так как является гармоническим рядом. Тогда , следовательно, ряд расходится.

1. (4)Определить сходимость ряда .

Решение.

Используем признак Даламбера. Для этого определим .

Тогда , следовательно, ряд сходится.

1. (5) Определить сходимость ряда

Решение.

Используем признак Даламбера. Для этого определим .

Тогда , следовательно, ряд сходится.

1. (6) Определить сходимость ряда .

Решение.

Используем радикальный признак Коши. Для этого определим . Тогда , следовательно, ряд сходится.

1. (7) .Определить сходимость ряда .

Решение.

Используем радикальный признак Коши. Для этого Тогда Таким образом, радикальный признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимого условия сходимости: , следовательно, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

1. (8). Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Используем интегральный признак Коши.

, следовательно, ряд расходится.

1. (9) .Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Дан знакочередующийся ряд. Выясним, сходится ли данный ряд, применяя признак Лейбница:

1) проверим, выполняется ли неравенство для абсолютных величин членов ряда. , следовательно, неравенство выполняется.

2) найдем предел общего члена ряда: , следовательно, условие выполнено.

Значит, по признаку Лейбница, исходный ряд сходится.

Исследуем на сходимость ряд из абсолютных величин членов данного ряда: . Возьмем гармонический ряд , который расходится, и используем 2 признак сравнения: . Следовательно, ряд из абсолютных величин расходится.

Таким образом, получаем, что исходный знакочередующийся ряд сходится условно.

2. (1).Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Найдем радиус сходимости, применяя признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при , получаем интервал сходимость: -1<x<1.

Рассмотрим ряд на границах полученного интервала.

При х = -1: ряд сходится по признаку Лейбница.

При х = 1: ряд расходится (гармонический ряд).

Таким образом, ряд сходится при .

2. (2)Найти область сходимости ряда .

Решение.

Найдем радиус сходимости, применяя обратный признак Коши::

.

Получаем, что ряд сходится при , следовательно, .

Таким образом, ряд сходится в одной точке .

3. Найти область сходимости ряда

Найдем радиус сходимости, применяя обратный признак Даламбера:

.

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х, так как общий член этого ряда стремится к нулю.

3. (1).Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение.

Так как . Получаем:

3. (2) Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение.

Так как , то

3(3) .Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение.

Так как , заменив х на , получаем

.