6) Извлечение корня

Алгоритмы извлечения квадратного корня из чисел методом «в столбик».

Извлечение квадратного корня из целого числа «нацело».

Пример: найдём .

№	Шаги алгоритма	Пример	Комментарии
1	Разбить число на группы по 2 цифры в каждой справа налево	21’ 25’ 21	Общее число образовавшихся групп определяет количество цифр в ответе
2	Для первой группы цифр подобрать цифру, квадрат которой будет наибольшим, но не превосходящим числа первой группы	1 группа – 21 42=16 16<21 цифра - 4	Найденная цифра записывается в ответе на первом месте
3	Из первой группы цифр вычесть найденный на шаге 2 квадрат первой цифры ответа	_21’ 25’ 21 16 5
4	К остатку, найденному на шаге 3, приписать справа (снести) вторую группу цифр	_21’ 25’ 21 16__ 525
5	К удвоенной первой цифре ответа приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходила числа, найденного на шаге 4	4*2=8 цифра – 6 86*6=516 516<525	Найденная цифра записывается в ответе на втором месте
6	Из числа, полученного на шаге 4 вычесть число, полученное на шаге 5. Снести к остатку третью группу	_21’ 25’ 21 16 _525 516 921
7	К удвоенному числу, состоящему из первых двух цифр ответа, приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру был наибольшим, но не превосходило числа, полученного на шаге 6	46*2=92 цифра 1 921*1=921	Найденная цифра записывается в ответе на третьем месте
8	Записать ответ	√212521=461

Извлечение квадратного корня из целого числа (корень не извлекается «нацело»)

Пример: найдём .

№	Шаги алгоритма	Пример	Комментарии
1	Установить точность извлечения 1/10m	m = 3	Определить количество знаков в ответе после запятой
2	Разбить число на группы по 2 цифры в каждой справа налево	12’ 34’ 56
3	Создать группы в дробной части числа, приписав, справа нули	12’ 34’ 56’, 00’ 00’ 00	Количество приписываемых нулей сокращается с заявленной точностью. В нашем примере – 6 нулей (3 группы, так как m=3)
4	Использовать алгоритм 1, начиная со 2 шага	√12”34”56”00”00”00=351,363 _9_ _334 325 _956 701 _25500 21069 443100 421596 ­_2150400 2108169 42231

Извлечение кубического корня

Многие из нас знают метод извлечения корней разложением числа на простые множители. Рассмотрим метод быстрого извлечения кубического корня. Для успешного овладения этой методикой необходимо запомнить несколько ключевых цифр таблицы кубов однозначных чисел.

N	13	23	33	43	53	63	73	83	93
N2	1	8	27	64	125	216	343	512	729

В правой части числа оканчиваются цифрами от 1 до 9. Надо запомнить, какое цифровое окончание соответствует каждому основанию левой части. Обратим внимание на то, что цифры 1,4,5,6,9 в своем кубе оканчиваются на ту же цифру. В остальных случаях последняя цифра куба равна разности между 10 и числом, возводимым в куб. Тогда легко найдется цифра единиц корня.

Вычислим . Чтобы найти число десятков искомого двузначного числа, нужно обратить внимание на то, сколько тысяч в подкоренном числе. В нашем примере число тысяч 571, а в таблице имеем числа 512= и 729= . Выберем число, куб которого наиболее близкий, но меньше числа 571. Следовательно, десятков будет 8. Оставшиеся цифры 787 оканчиваются 7, а так как , то единиц будет 3. Итак, = 83.

Применение на практике.

Из города А в город В, расстояние между которыми равно 300 км, выехал мотоциклист. Проехав 64% всего пути, он остановился на 18 мин для заправки горючим. Чтобы наверстать потерянное время, оставшуюся часть пути он проехал, увеличив скорость на 12 км/ч. С какой скоростью двигался мотоциклист после остановки?

До остан.	V,км/ч	t,ч	S,км
	x		192км 300 108км
После остан.	X+12

300*0,64=192(км) - путь до остановки;

300 – 192= 108(км) - путь после остановки;

Х(км/ч) – первоначальная скорость мотоциклиста;

(ч) - время движения мотоциклиста до остановки;

(ч) - время движения мотоциклиста после остановки;

18 мин= = - время остановки;

= 0

1080х+3х(х+12)-1080(х+12)=0

Х=0

Х=-12

1080х+ +36х-1080х-12960=0

+36х-12960=0 : 3

+12х-4320=0

Д= 144-4*(-4320)=144+17280= 17424

= =132

Вычислим 1*2=2

=132

23*3=69

1

74

69

524

524

0 = =60 (км/ч) - первоначальная скорость;

= =-72 – не удовлетворяет условию задачи;

60+12=72(км/ч)- скорость мотоциклиста после остановки.

Ответ: 72 км/ч

7) Пифагоровы числа

Пифагоровы числа – бесчисленное множество целых положительных чисел a, b, c, удовлетворяющих соотношению a²+b²=c²

Свойства:

-Один из катетов должен быть кратным трем

-Один из катетов должен быть кратным четырем

-Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти

Пифагоровы числа имеют вид:

a=mn b=(m²-n²)/2 c=(m²+n²)/2

некоторые пифагоровы числа:

при m=3, n=1 3²+4²=5²

при m=5, n=1 5²+12²=13²

при m=7, n=1 7²+24²=25²

при m=9, n=1 9²+40²=41²

при m=11, n=1 11²+60²=61²

8) Мгновенное умножение

Вычислители-виртуозы во многих случаях облегчают себе вычислительную работу, прибегая к несложным алгебраическим преобразованиям. Например, 988² выполняется так:

988*988=(988+12)(988-12)+12²=1000*976+144=978 144

В этом случае используется следующая формула:

a²=a²-b²+b²=(a-b)(a+b)+b²