1.2 Приемы устного счета

1) Сложение

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1; чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте 10 и отнимите 3 и т.д. Например:

56+8=56+10-2=64

65+9=65+10-1=74

2) Сложение двухзначных чисел

Если цифра единиц в прибавляемом числе больше 5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

34+48=34+50-2=82

27+31=27+30+1=58

3) Сложение трехзначных чисел

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

4) Вычитание

Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректировать полученный ответ.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

5) Вычитание числа меньше 100 из числа больше 100

Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, есть простой способ вычислить разность в уме.

134-76=58

76 на 24 меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24 к 34 и получим ответ: 58.

152-88=64

88 на 12 меньше 100, а 152 больше 100 на 52, значит

152-88=12+52=64

6) Умножение на 4

Чтобы устно умножить число a на 4, его дважды удваивают.

Обоснование: а·4=а·2·2.

Например:

122·4=244·2=488

335·4=670·2=1340

7) Умножение на 5

Чтобы устно умножить число на 5, его умножают на 10 и делят на 2, то есть приписывают к числу 0 и делят пополам.

Обоснование: а·5=а·10:2.

Например:

74·5=74·10=740:2=370

243·5=243·10=2430:2=1215

При умножении числа на 5 четного числа 2а, проще сначала делить число пополам, а затем умножить результат на 10.

Обоснование: 2а·5=2а:2·10=а·10.

Например:

74:2·10=37·10=370

8) Умножение на 6

Чтобы умножить число на 6 его умножают на 5 и прибавляют множимое. Чтобы умножить число на 5 его умножают на 10 и делят на 2.

Обоснование: а·6=а·(5+1)=а·10:2+а.

Например:

36·6=36·5+36=36:2·10+36=180+36=216

164·6=164·5+164=164:2·10+164=820+164=984

9) Умножение на 8

Чтобы умножить число на 8, его трижды удваивают.

Обоснование: а·8=а·2·2·2=2а·2·2=4а·2

Например:

37·8=74·4=148·2=296

217·8=434·4=868·2=1736

10) Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, умножают его на 10 и отнимают множимое.

Обоснование: а·9=а·(10-1)=10а-а.

Например:

89·9=89·10-89=801

375·9=375·10-375=3375

11) Умножение на 11

1 способ - Чтобы устно умножить число на 11, его умножают на 10 и прибавляют множимое.

Обоснование: а·11=а·(10+1)=10а+а.

Например:

87·11=87·10+87=870+87=956

645·11=6450+645=7095

2 способ-Чтобы любое двузначное число умножить на 11, нужно сложить его первую и последнюю цифру и цифру-результат вписать в середину двухзначного числа. Если суммы –двузначное число, то необходимо прибавить к первому числу единицу.

Например:

54*11=5(5+4)4=594

58*11=5(5+8)8=638

12) Умножение на 15

Чтобы устно умножить число на 15, его умножают на 1,5 (пункт 21) и умножают на 10.

Обоснование: а·15=а·1,5·10=1,5а·10.

Например:

18·15=18·1,5·10=270

45·15=45·1,5·10=675

13) Умножение на 50

Чтобы устно умножить число на 50, его умножают на 100 и делят на 2.

Обоснование: а·50=а·100:2=100а:2.

При умножении числа на 50 четного числа 2а, проще сначала делить число пополам, а затем умножить результат на 100.

Например:

46·50=46:2·100=23·100=2300

847·50=847·100=84700:2=42350

14) Умножение на 99

Чтобы устно умножить число на 99, его умножают на 100 и отнимают множимое.

Обоснование: а·99=а·(100-1)=100а-а.

Например:

46·99=46·100=4600-46=4554

745·99=745·100=74500-745=73755

15) Умножение чисел на 22, 33,… ,99 Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 х 11; 44 = 4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11(пункт 12). Примеры: 18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792 42 х 22 = 42 х 2 х 11 = 84 х 11 = 924 13 х 55 = 13 х 5 х 11 = 65 х 11 = 715 Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого: 28 х 33 = (28 х 3) х (33:3) = 84 х 11 = 924 48 х 22 = (48 х 2) х (22:2) = 96 х 11 = 1056

16) Умножение на 9, 99, 999

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором

множителе, и из результата вычесть первый множитель.

 

286∙9=286∙(10 - 1)=2860 – 286=2574,

 

23∙99=23∙(100 - 1)=2300 – 23=2277,

 

18∙999=18∙(1000 - 1)=18000 – 18=17982

17) Умножение чисел на 111 ,1111, 11111 и т. д.

Зная, как умножать на 11(пункт 12), можно легко умножать на 111. Рассмотрим примеры. Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и т.д. Примеры: 32 х 111 = 3 (3+2) (3+2) 2 = 3552 45 х 111 = 4 (4+5) (4+5) 5 = 4995 26 х 1111 = 2 (2+6) (2+6) (2+6) 6 = 28 886 52 х 1111 = 5 (5+2) (5+2) (5+2) 2 = 57 772 Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа разомкнуть на два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между числами. 42 х 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662 Разомкнуть 4 и 2 на 5 шагов. Если единиц 6, то шагов будет на 1 меньше, то есть 5. Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д. Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10. Примеры: 57 х 111 = 5 (5+7) (5+7) 7 = 5 (12) (12) 7 = (5+1) (2+1) 27 = 6327; 86 х 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546. В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546. 69 х 1111 = 6 (15) (15) (15) 9 = (6+1) (5+1) (5+1) 59 = 76659

76 х 1 111 111 = 7 (13)(13)(13)(13)(13)(13) 6 = (7+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1) 36= 84444436 18) Умножение чисел на 101 , 1001 и т.д. Чтобы любое число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа это же число. Примеры: 32 х 101 = 3232

47 х 101 = 4747

54 х 101 = 5454

93 х 101 = 9393 Чтобы трёхзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число. Примеры: 324 х 1001 = 324 324

675 х 1001 = 675 675

869 х 1001 = 869 869 Другие примеры: 6478 х 10001 = 64786478 846932 х 1000001 = 846932846932 29) Умножение чисел на 37

Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111 Примеры: 24 х 37 = (24:3) х 37 х 3 = 8 х 111 = 888

18 х 37 = 18 : 3 х 111 = 6 х 111 = 666

20) Умножение на 1,5

Чтобы устно умножить число на 1,5 , прибавляют к множимому его половину.

Обоснование: а*1,5 = а*1+ а*0.5

Например:

34·1,5=34·1+34·0,5=34+17=51

23·1,5=23·1+23·0,5=23+11,5=34,5

21) Умножение на 1,25

Чтобы устно умножить число на 1,25 прибавляют к множимому его четверть.

Обоснование: а*1,25 = а*1+а*0,25

Например:

48·1,25=48·1+48·0,25=48+12=60

56·1,25=56·1+56·0,25=56+14=70

22) Умножение на 2,5

Чтобы устно умножить число на 2,5 ,к удвоенному числу прибавляют половину множимого.

Обоснование: а*2,5 = а*2+а*0,5

Например:

18·2,5=18·2+18*0,5 =36+9=45

39·2,5=39·2+39*0,5=78+19,5=97,5

23) Умножение на 0,75

Чтобы устно умножить число на 0,75 ,умножают число на 1,5 и делят пополам.

Обоснование: а*0,75 = (а*1,5)/2

Например:

30*0,75=30*1,5/2=45:2=22,5

24) Деление на 4

Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам.

Обоснование: а:4 = а: (2·2)

Например:

76:4=38:2=19

236:4=118:2=59

25) Деление на 8

Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам.

Обоснование: а:8 = а: (2·2·2)

Например:

464:8=232:4=116:2=58

516:8=258:4=179:2=64 ?

26) Деление на 5

Чтобы устно разделить число на 5, последнюю цифру в удвоенном числе отделяют запятой.

Обоснование: а:5 = 2*а/ 10

Например:

84:5=168:10=16,8

237:5=474:10=47,4

27) Деление на 15

Чтобы устно разделить число на 15 ,удвоенное число делят на 30.

Обоснование: а:15 = 2*а/ 30

Например:

240:15=480:30=48:3=16

462:15=924:30=308:10=30,8

28) Умножение и деление на 25

Для того, чтобы научиться устно умножать и делить на 25, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4. На 4 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4:

Примеры:

124 делится на 4, так как 24 делится на 4;

1716 делится на 4, так как 16 делится на 4;

1800 делится на 4, так как 00 делится на 4.

Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умно-жить на 100.

Примеры:

484 х 25 = (484 : 4) х 25 х 4 = 121 х 100 = 12 100; 124 х 25 - 124 : 4 х 100 - 3100.

Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4.

Примеры:

12 100 : 25 = 12 100 : 100 х 4 = 484; 3100:25 = 3100:100x4 = 124.

29) Умножение и деление на 75

Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300.

Примеры:

32 х 75 = (32 : 4) х 75 х 4 = 8 х 300 = 2400; 48 х 75 = 48 : 4 х 300 = 3600.

Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4.

Примеры:

2400:75 = 2400:300x4 = 32; 3600 : 75 = 3600 : 300 х 4 = 48.

30) Деление на 50

Чтобы устно разделить число на 50, его нужно разделить на 100 и умножить на 2.

Обоснование: а/50=а/100*2

Например:

21600:50=21600:100·2=216·2=432

8600:50=8600:100·2=86·2=172

31) Деление на 1,5

Чтобы устно разделить число на 1,5 ,удвоенное число делят на 3.

Обоснование: а/1,5 = 2*а/ 3

Например:

36: 1,5=72:3=24

53: 1,5=106:3=35,3

32) Деление на 0,5

Чтобы устно разделить число на 0,5 , его умножают на 2.

Обоснование: а/0,5 = а*2

Например:

27: 0,5 =27·2=54

85: 0,5=85·2=170

33) Деление на 0,25

Чтобы устно разделить число на 0,25 , его умножают на 4.

Обоснование: а/0,25= а*4

Например:

36/0,25=36·4=144

73/0,25=73·4=292

34) Деление на 0,75

Чтобы устно разделить число на 0,75 ,его умножают на 4 и делят на 3.

Обоснование: а/0,75= (а*4)/3

Например:

15/0,75 =15·4: 3=60:3=20

47/0,75 =47·4:3=188:3=62,6

35) Вычисление по формулам сокращенного умножения

1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a+b)²=a²+2ab+b²

Например:

41² = (40+1)² = 40² + 2 · 40 · 1 + 1² = 1600 + 80 + 1 = 1681

2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a-b)²=a²-2ab+b²

Например:

98² = (100 - 2)² = 100² - 2 · 100 · 2 + 2² = 10000 - 400 + 4 = 9604

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.

(a+b)(a-b)=a²-b²

Например:

(100 - 1)(100+1)=100²-1²=9999

4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Например:

(8+5)³=8³+3·8²·5+3·8·5²+5³=512+960+600+125=2197

5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

Например:

(8-5)³=8³-3·8²·5+3·8·5²-5³=512-960+600-125=27

6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.

(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³

Например:

(3+4)(3²-3·4+4²)=3³+4³

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³

Например:

(5-4)(5²+5·4+4²)=5³-4³

36) Числа 1, 5, 6, 25, 76

Всякие числа, оканчивающиеся на 1, 5, 6, 25, 76 в любой степени будут оканчиваться ими же.

Например:

5²=25

815⁷²³=…5

491^9876543256=……….1

576³=191 102 976