1.3 Признаки делимости

Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2. Число, делящееся на 2, называется чётным, не делящееся на 2 – нечётным.

Признак делимости на 3. Число делится на 3, если сумма чисел, образованных его цифрами в десятичной записи делится на 3.

Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.    

Признак делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – 5 или 0.

Признак делимости на 6. На 6 делятся все те и только те числа, которые одновременно делятся на 2 и на 3. С помощью этого признака можно установить, например, что число 721314 делится на 6, поскольку оно делится на 2 (оно четно) и на 3 (сумма его цифр делится на 3).

Признак делимости на 8.Число n делится на 8 тогда и только тогда, когда на 8 делится трехзначное число, образованное из трех последних цифр числа n.

Если внимательно рассмотреть признаки делимости на 2,4,8, то можно найти признак делимости на 2ª( a=1,2,3,4… ).Число n делится на 2ª тогда и только тогда, когда на 2ª делится a – значное число, которое образуют a последних цифр числа n. Действительно, исходное число n можно представить в виде суммы двух слагаемых: одного, оканчивающегося a нулями, и другого, образованного из a последних цифр числа n.Первое слагаемое делится на 10ª ,а значит, на 2ª , поскольку 10ª =5ª 2ª . Таким образом, вопрос о делимости на 2ª исходного числа всецело зависит от делимости на 2ª второго слагаемого .

Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100, 1000. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – 0. Число делится на 100 тогда и только тогда, когда две его последние цифры – нули. Число делится на 1000 тогда и только тогда, когда три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 11. Если из суммы всех цифр, стоящих на нечетных местах, вычесть сумму всех цифр, занимающих четные места, и в разности получится 0 либо число, кратное 11, то и испытуемое число кратно 11.

Например, 87 635 064:

8+6+5+6=25

7+3+0+4=14

25-14=11 – число кратно 11

Признак делимости на 11. Испытуемое число следует разбить на грани справа налево по две цифры и сложить их. Если полученная сумма делится без остатка на 11, то и испытуемое число кратно 11.

Например, 528

5+28=33 – число кратно 11

Объединенный признак делимости на 7, 11 и 13. Число делится на 7, 11 или 13, если алгебраическая сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи с чередующимися знаками делится соответственно на 7, 11 или 13. Доказательство. Заметим, что произведение чисел 7, 11 и 13 равно 1001. Поэтому число 1000 при делении на 7, 11 или 13 равно остаточно с –1. Далее поступаем как и в признаке делимости на 11. Признак делимости на 19. Число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Признак делимости на 25. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.

Признак делимости на 37. Число делится на 37, если сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи делится соответственно на 37.

Свойства делимости:

Теорема 1 (теорема о делимости суммы).

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Теорема 2 (теорема о делимости произведения). Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

1.4 Алгоритмы ускоренных вычислений 1)Алгоритм возведения в квадрат двузначных и трёхзначных чисел, оканчивающихся на 5. Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6), на число десятков увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25 (6 х 7=42. Ответ: 4225). Например: 2)Возведение в квадрат чисел состоящих только из 1. 11 х 11 =121 111 х 111 = 12321 1111 х 1111 = 1234321 11111 х 11111 =123454321 111111 х 111111 = 12345654321 1111111 х 1111111 = 1234567654321 11111111 х 11111111 = 123456787654321 111111111 х 111111111 = 12345678987654321 3) Алгоритм возведения в квадрат чисел, близких к 50. 1) вычесть из этого числа 25; 2) приписать к результату двумя цифрами квадрат избытка этого числа над 50. Примеры: 58² = 3364 Пояснение. 58 – 25 = 33, 8² = 64, 58² = 3364. 64² = 4096 1 Пояснение. 64 – 25 = 39, 64 – 50 = 14, 14² = 196, 64² = 3996 = 4096. 4)«Интересные» числа с применением свойств умножения

Число - 142857 Попробуем это число умножить на 1, 2, 3, 4, 5, 6 142 857 х 1 = 142 857; 142 857 х 4 = 571 428; 142 857 х 5 = 714 285; 142 857 х 2 = 285 714; 142 857 х 6 = 857 142; 142 857 х 3 = 428 571; 5) Интересные цифры Возьмите числа, кратные трём,- от 3 до 2,умножьте их на 3 . Посмотрите, как занятно! Произведения трёхзначные . В каждом из них три раза повторяется то число, которое получится, если множимое разделить на 3 : 3 х 37 = 111 33 х 3367 = 111111 6 х 37 = 222 66 х 3367 = 222222 9 х 37 = 333 99 х 3367 = 333333 12 х 37 = 444 132 х 3367 = 444444 15 х 37 = 555 165 х 3367 = 555555 18 х 37 = 666 198 х 3367 = 666666 21 х 37 = 777 231 х 3367 = 777777 24 х 37 = 888 264 х 3367 = 888888 27 х 37 = 999 297 х 3367 = 999999