2. Несобственные интегралы от разрывных функций

Если на отрезке [a; b] функция f (x) имеет несколько (конечное число) точек разрыва первого рода, это “препятствие” легко устранить, разбив отрезок точками разрыва на несколько отрезков, вычислить определенные интегралы на каждом отдельном участке и результаты сложить.

Рассмотрим определенный интеграл от функции, неограниченной при приближении к одному из концов отрезка [a; b], например, .

(В таких случаях обычно говорят : ’’Функция имеет бесконечный разрыв на правом конце отрезка интегрирования’’.)

Ясно, что обычное определение интеграла здесь теряет свой смысл.

Определение. Несобственным интегралом от функции f(x), непрерывной при а  х < b и неограниченной при x  b - 0, называется предел:

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции, имеющей бесконечный разрыв на левом конце отрезка:

Если точка с бесконечного разрыва находится внутри интервала (a; b), то:

причем исходный интеграл называется сходящимся, если существуют оба интеграла в правой части этого равенства, причем независимо друг от друга.

Пример 1. Вычислить интеграл:

Подынтегральная функция стремится к  при х  1, поэтому:

Пример. 2. Вычислить интеграл .

Так как внутри отрезка интегрирования существует точка x = 0, где подынтегральная функция разрывна, то и интеграл нужно представить как сумму двух слагаемых:

.

Вычислим каждый предел отдельно:

Следовательно, на участке [ -1, 0] интеграл расходится.

Значит на участке [0, 1)] интеграл также расходится.

Таким образом, данный интеграл расходится на всем отрезке [-1, 1]. Отметим, что если бы мы стали вычислять данный интеграл, не обращая внимания на разрыв подынтегральной функции в точке x = 0, то получили бы неверный результат. Действительно,

, что невозможно.

Итак, для исследования несобственного интеграла от разрывной функции, необходимо "разбить" его на несколько интегралов и исследовать их.