2. Решение простейших физических задач

Мы уже говорили, что, если f (x) есть величина переменной силы, то

выражает работу переменной силы по перемещению материальной точки вдоль прямолинейного пути.

Пример. По двум прямолинейным длинным параллельным проводникам, находящимся на расстоянии r₁ друг от друга, текут в одном направлении токи J₁ и J₂.

Какую работу (на единицу длины проводника) необходимо совершить, чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния r₂ ?

Решение.

По закону Био-Савара-Лапласа

где r - расстояние между токами.

По закону Ампера

Тогда получим:

Рассмотрим еще некоторые случаи применения определенных интегралов.

В механике материальную плоскую фигуру принято называть пластинкой.

Пусть дана пластинка в форме криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y = f(x), отрезком [a; b] оси Ох и прямыми x = a, x = b.

Пусть на этой пластинке масса распределена равномерно. Тогда, проводя аналогичные рассуждения, получим формулы для определения центра тяжести:

Статические моменты J_x и J_y плоской пластинки относительно осей координат вычисляются по формулам:

Таким образом, используя определённый интеграл можно решать физические задачи.

Несобственные интегралы

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Вспомним определение интеграла как предела интегральных сумм:

В определении предполагается, что интервал интегрирования конечен, а функция f (x) непрерывна в нем. Нарушение этих предположений приводит к несобственным интегралам.

Определение. Если интеграл стремится к конечному пределу при неограниченном возрастании “b”, то этот предел называют несобственным интегралом с бесконечной верхней границей от функции f (x) и обозначают символом

В этом случае говорят, что несобственный интеграл существует или сходится.

Если указанный предел не существует или существует, но бесконечен, то говорят, что интеграл не существует или расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечной нижней границей:

Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами определяется формулой:

где с - любая фиксированная точка на оси Ох.

Итак, несобственные интегралы могут быть с бесконечно нижней границей, с бесконечно верхней границей, а также с двумя бесконечными границами.

Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость

Интеграл существует только тогда, когда существует каждый из интегралов: и .

Пример. Исследовать на сходимость интеграл

Полагая с = 0, получим:

т.е. интеграл сходится.

Иногда нет необходимости вычислять несобственный интеграл, а достаточно лишь знать, сходится он или расходится, сравнив его с другим интегралом.

Теорема сравнения несобственных интегралов.

Пусть в интервале [a; +) функции f (x) и  (х) непрерывны и удовлетворяют неравенству 0   (x)  f (x). Тогда:

а) если интеграл сходится, то сходится

б) если интеграл расходится, то также расходится.

Пример.1. Исследовать, сходится ли интеграл

Решение. Заметим, что при 1  x

Далее,

= 1

Следовательно, сходится и его значение, меньше 1.

Пример. 2. Исследовать, сходится ли интеграл

Замечаем, что

Но, .

Следовательно, расходится и данный интервал.

Теорема. Если интеграл сходится, то сходится и интеграл .

В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.

Если интеграл от расходится, то об интеграле от f (x) на одном этом основании ещё ничего сказать нельзя: он может расходиться, а может и сходиться. В последнем случае (т.е. когда сходится, расходится говорят, что сходится условно (не абсолютно).

Пример. Исследовать сходимость интеграла

Здесь подынтегральная функция – знакопеременная.

Замечаем, что

Но

Следовательно, интеграл сходится.

Отсюда следует, что сходится и данный интеграл.

Итак, для определения сходимости несобственного интеграла можно его сравнивать с другим интегралом, который заведомо сходится или расходится.