Функциональные ряды.

Пусть имеется некоторая последовательность функций.

U₁(x), U₂(x), …, U_n(x), … Образуя из членов этой последовательности рядU₁(x)+U₂(x)+ …+U_n(x)+ … (1)

Ряд (1) называем функциональным и данный ряд при некоторых xможет сходится, при другихxрасходится.

Если (1) сходится в каждой точке xинтервалаAB, то ряд сходится на интервалеAB.

Если сходится последовательность частичных сумм S_n(x), то ряд сходится и сумма его естьS(x)

Остаток ряда S(x)-S_n(x)=r_n(x) – остаток

Функциональный ряд может сходится вообще, а может сходится равномерно на некотором интервале.

Понятия равномерного (правильного) функционального ряда позволяет проводить операции дифференцированного интегрирования. Функциональный ряд сходится равномерно, если для сколь угодно малого положительного числа εнайдется такой номерN, начиная с которого выполняется неравенство |r_n(x)|< ε

При этом Nне должно зависеть отx.

|r_n(x)| = |-S_n(x) + S(x)| < ε

Рассмотрим предел равномерной и неравномерной сходимости числового ряда

при раскрытии скобок

S₁(x)=1/(x+1)

S₂(x)=1/(x+2)

S₃(x)=1/(x+3)

S₁₁(x)=1/(x+11)

Вывод:нетрудно видеть, что начиная с некоторогоN=10 S₁₁и далее все частичные суммы попадают в коридорεS(x)=0 при этомN– номер не зависящий отx.

Признак равномерной сходимости функционального ряда (Вейерштрасса)

Пусть дан функциональный ряд

U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x)+…

Если найдётся последовательность чисел M₁,M₂,M₃, …,M_n, … - моделирующих ряд

И если при всех Mвыполняется неравенство |U_n(x)|<M_nи рядM₁+M₂+…+M_n+…- сходящийся, то данный функциональный ряд сходится равномерно

Доказательство:

Mn–сходится, тогда остаток этого рядаr_n=M_n+1+M_n+2+M_n+p+…<ε

Но с учётом того, что имеет место неравенство между членами функционального U(x) и числовогоMn, то

|U_n(x)|<M_nмодуль суммы<суммы модуля

|r_n(x)|=|U_n+1(x)+U_n+2(x)+…+U_n+p(x)+…|< ε

По определению функциональный ряд сходится равномерно.

Пример:Дан ряд

при x=0 можем подключить «=» к знаку больше, но лучше быx≠0 так как нам не охота смотреть как он будет сходится. Данный ряд сходится равномерноx≠0

Свойства равномерно функция сходящихся рядов.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

U₁(x)+U₂(x)+…+ U_n(x)+…

1. Если функции U₁(x),U₂(x), …,U_n(x)… непрерывные функции на интервалеABто и сумма этого рядаS(x) есть так же непрерывная функция, причём исходный функциональный ряд сходится равномерно.

2. Если функциональный ряд сходится равномерно, то его можно почленно дифференцировать и ряд U₁’(x)+U₂’(x)+…+U_n’(x)+… так же сходится равномерно.

3. Если функциональный ряд сходится равномерно на интервале AB, то его можно почленно интегрировать не любом подинтервале интервалаAB. При этом предполагаетсяU_i(x) есть непрерывные функции на интервалеAB.

Степенные ряды. Теорема Абеля.

Ряды вида: a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ+… (1) называется степенными функциональными рядами.

Сходимость степенного ряда устанавливаем с помощью теоремы Абеля: Если степенной ряд сходится при x=x₀, то он сходится и причём абсолютно при всех |x|>|x₀|, а если он расходится приx₀, то он расходится и при всех |x|>|x₀|.

Доказательство: Допустим, что при x=x₀ряд (1) сходится. Докажем, что приx<x₀ряд будет сходится так как приx=x₀ряд (1) сходится, то:

то есть будет такое M, что |a_nxⁿ|<M

Рассмотрим x<x₀или |x/x₀|<q<1

Из (2) видно, что в правой части неравенства находится геометрическая прогрессия со знаменателем q<1, которая сходится, тогда по 1 признаку сравнения должен сходится и ряд в левой части, т. е. ряд (1) должен сходится.

Второе утверждение теоремы, что при x>x₀ряд будет расходится и |x|>|x₀|

10 Если x₀обозначим черезR. Если приx=Rряд сходится, то он будет сходится для |x|<|R|, гдеR– радиус сходимости.

Чтобы найти радиус сходимости, нужно воспользоваться признаком Доломбера: найти предел модуля отношения

Где x– параметр. И из решения неравенства |q(x)|<1 найдёмR.

При этом границы интервала нужно исследовать дополнительно.

α<x<βпри этомx=αиx=βподставляем в исходный функциональный ряд, получаем числовой ряд, который сходится или нет. Если сходится то ≤, если нет, то знак строгий.

Пример:

при x=-3

Получаем: -3 ≤ x< 3

Имеем знакочередующийся ряд по признаку Лейбница ряд сходится

1.

2. |U₁|>|U₂|>…

x=3