Радикальный и интегральный признак Коши

Радикальный признак

Пусть требуется установить сходимость ряда U₁+U₂+…+U_n+…

Если существует предел

то, если l<1 ряд сходится. Еслиl>1, то ряд расходится; еслиl=1, то неопределённость

Данный признак применяется в том случае, если nчлен содержитnстепень.

Доказательство: Пусть при всех n

Возведём в nстепень

U_n<lⁿв последнем неравенстве в правой части геометрическая прогрессия со знаменателем <1, которая сходится

Тогда по первому признаку сравнения сходится и ряд U_nпо первому признаку сходимости.

Интегральный признак Коши

Пусть имеем ряд U₁>U₂>U₃>…>U_n>…

Если представить, что каждый член ряда как некоторая численная величина – Sнекоторого прямоугольника шириной =1, аh=Un, то выстроив все прямоугольники получим некоторую ступенчатую фигуруS– которой =Sряда

Если бы эту ступенчатую фигуру представить непрерывной кривой, то следовало бы вычислить Sкриволинейной трапеции с помощью интеграла.

В качестве подынтегральной функции нужно взять n– член ряда и дискретную переменнуюnзаменить на непрерывнуюx, получим некоторый интеграл.

тогда интегральный признак Коши можно сформулировать следующим образом

U_nи интеграл (1) сходятся или расходятся одновременно

Пример:

ряд Дирихле p=const

Выражение принимает значение ∞ при p<1 или 1/(p-1) приp>1.

Признак Даламбера

U₁+U₂+…+U_n+…

Допустим, что

то при

если Q=1, то неопределённость

Доказательство:

Положим, что q=Q<1 тогда

U_n+1<qU_n

U_n<qU_n-1

U_n-1<qU_n-2

U₂<qU₁

U_n+1*U_n*U_n-1*…*U₂<U_n*U_n-1*U_n-2*…*U₂*U₁*qⁿ

U_n+1 < U₁*qⁿ (2)

Так как правая часть – геометрическая прогрессия, в в левой части исследуемая функция, то по первому признаку сходится левая часть, что и требовалось доказать

С помощью этого признака удобно исследовать ряды у которых общий член содержит факториалы, степени

Пример:

ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды и признак Лейбница

Если члены числового ряда имеют знаки +/- чередующиеся т.е. соседние члены имеют разные знаки – то это знакочередующийся ряд.

Чтобы установить сходимость знакочередующегося ряда есть признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд сходится если первые члены ряда по абсолютной величине монотонно убывают.

|U₁|>|U₂|>|U₃|>…>|U_n| то есть

Если это условие выполняется, то ряд сходится.

Доказательство: U₁-U₂+U₃-…-U_n+U_n+1-…

Рассмотрим частичные суммы ряда, сначала чётные S_2n, а потом нечётныеS_2n+1. Чтобы показать, что частичные суммы ряда имеют предел, нужно установить:

1. Что последовательность частичных сумм возрастает

2. Что данная последовательность ограниченна.

Тогда по признаку Вейерштрасса последовательность сходится.

S_2n =U₁+(U₂-U₃)+(U₄-U₅)+…

В скобках находятся положительные величины

S_2n =U₁-(U₂-U₃)-(U₄-U₅)-…- (U_2n-2-U_2n-1)-U_2n

Ввиду первого условия (что члены ряда по модулю убывают) выражения в скобках – положительные, тогда

S_2n<U₁т. е.S_2n– величина ограниченная, с другой стороныS_2n+2=S_2n+(S_2n+1-S_2n+2)

Из последнего равенства видно, что последовательность чётных частичных сумм есть возрастающая последовательность по первому условию ограниченная и по признаку Вейерштрасса сходится

Если возьмём нечетную частичную последовательность, покажем, что она сходится.

S_2n+1=S_2n+U_2n+1

По второму условия если предел n-го члена =0,то сходится

Sтогда и последовательность нечётных сумм сходится и имеет пределS.

1. Ряд знакочередующийся

2. 

3. 

Ряд сходится