2. Законы распределения размеров

Совокупность значений действительных размеров заготовок, обработанных в одних и тех же условиях, расположенных по возрастанию, с указанием частот повторения этих размеров называется распределением размеров заготовок. Частота m_i – количество заготовок одного размера в пределах заданного интервала (разряда). Отношение частоты к количеству всех измеренных заготовок партии называется частостью:

На практике все полученные при замерах значения разбиваются на интервалы, величина которых выбирается таким образом, чтобы она была несколько больше цены деления измерительного инструмента, компенсируя, таким образом, погрешность измерения. Цену деления шкалы измерительного прибора определяют из соотношения:

,

где – допуск на размер детали.

Количество интервалов должно быть не меньше шести при общем количестве измеренных заготовок 50 шт. Распределение размеров заготовок представляют в виде таблиц или графиков. Например, после измерения 100 шт. заготовок с действительными размерами в пределах от 20 до 20,35 мм таблица распределения будет иметь следующий вид:

Таблица 1

Интервал, мм	Частота, mi	Частость,
20,00-20,05	2	0,02
20,05-20,10	10	0,1
20,10-20,15	24	0,24
20,15-20,20	30	0,3
20,20-20,25	22	0,22
20,25-20,30	10	0,1
20,30-20,35	2	0,02

Для представления распределения в виде графика по оси абсцисс откладывают интервалы размеров в соответствии с таблицей 1, а по оси ординат – соответствующие им частоты или частости:

Рис.1. Распределение действительных размеров заготовок

Полученный в результате ступенчатый график называется гистограммой распределения, а ломаная кривая – полигоном распределения или эмпирической кривой распределения. При относительно большом количестве замеренных заготовок и интервалов ломаная эмпирическая кривая приближается по форме к плавной кривой – кривой распределения.

Закон нормального распределения

Закону нормального распределения, согласно теореме Ляпунова, подчиняется сумма взаимно независимых случайных величин, если влияние каждого из них на сумму ничтожно мало и примерно одинаково, т.е. среди слагаемых нет доминирующих, и если их количество достаточно велико. Соответствие закону нормального распределения тем точнее, чем больше число слагаемых.

Результирующая погрешность обработки обычно представляет собой сумму большого числа погрешностей, независимых между собой, влияние каждой из которых на результирующую погрешность имеет один порядок. Таким образом, можно заключить, что распределение результирующей погрешности обработки, а, следовательно, и распределение действительных размеров обрабатываемых заготовок подчиняются закону нормального распределения. Уравнение кривой нормального распределения имеет следующий вид:

,

где σ – среднее квадратическое отклонение,

,

где – текущий действительный размер, - среднее арифметическое значение действительных размеров заготовок данной партии,

.

Разница между наибольшим и наименьшим значениями действительных размеров заготовок партии называют размахом распределения или полем рассеивания:

.

Кривая нормального распределения показана на рис. 2. Значение

Рис.2. Кривая нормального распределения (кривая Гаусса)

характеризует положение центра группирования размеров, среднее квадратическое отклонение σ показывает, насколько тесно сгруппированы размеры заготовок около центра группирования. В этом смысле среднее квадратическое отклонение является мерой рассеивания или мерой точности действительных размеров заготовок. С возрастанием σ значение уменьшается, а поле рассеивания 6σ увеличивается (рис. 3), следовательно, чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем выше точность обработки. Кривая нормального распределения асимптотически приближается к оси абсцисс. На расстоянии от вершины кривой ее ветви так близко подходят к оси абсцисс, что в этих пределах заключено 99,73% (практически принято считать 100%) всей площади, ограниченной кривой и осью абсцисс.

Рис. 3. Влияние среднего квадратического отклонения на форму кривой нормального распределения

Закон равной вероятности

В том случае, когда рассеивание размеров вызвано только систематическими закономерно изменяющимися погрешностями (например, износом режущего инструмента), распределение действительных размеров партии заготовок подчиняется закону равной вероятности. Так, при установившемся износе режущего инструмента, уменьшение его размеров, а, следовательно, и изменение размеров обрабатываемых заготовок, подчиняется прямолинейному закону.

Рис. 4. Изменение размеров в зависимости от переменных систематических погрешностей (a) и распределение размеров по закону равной вероятности (b).

Изменение размеров обрабатываемых заготовок на величину за период показано на рис. 4а. Распределение размеров заготовок в интервале от до по закону равной вероятности выражается прямоугольником (рис. 4б) с основанием и высотой (значением ординаты) 1/2l. Площадь прямоугольника равна единице, что означает 100%-ю вероятность попадания размера заготовки в интервале от до .

Среднее арифметическое значение размера:

.

Среднее квадратическое отклонение:

Фактическое поле рассеивания:

Закон эксцентриситета (закон Релея)

Закону распределения эксцентриситета подчиняются величины, которые могут принимать только положительные значения, например, эксцентриситет, биение, разностенность, бочкообразность, непараллельность, овальность и т.д. Закон Релея формируется, в частности, тогда, когда случайная величина представляет собой геометрическую сумму двух случайных величин

,

каждая из которых подчиняется закону нормального распределения с параметрами:

.

У равнения кривой, характеризующий закон Релея (рис. 5) имеет вид:

,

где – среднее квадратическое отклонение значений координат x и y конца радиус-вектора R.

Анализ уравнения кривой закона Релея показывает, что при , а при , т.е. начало кривой распределения совпадает с началом координат, а нисходящая ветвь асимптотически приближается к оси абсцисс (рис. 5).

Основные параметры закона Релея:

, 1,253

Фактическое поле рассеивания значений переменной величины радиус-вектора R находят из выражений:

5,252 .