3. Геометрическое определение вероятности

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящей в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности - вероятности попадания точки в области.

На плоскости задана квадратируемая область, т.е. область, имеющая площадь. Обозначим эту область буквой G, а ее площадь S_G. В области G содержится область g площади S_g (рис. 1)

Рис. 1

В область G наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G с вероятностью, пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. Пусть A – попадание брошенной точки в области g, тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой

(3.1)

Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область G объема V_G, содержащую область g объема V_g: (3.2)

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области (длину, площадь, объем) через mes g, а меру области G – через mes G (mes – первые три буквы французского слова mesure, что значит мера); А- событие «попадание брошенной точки в области g, которая содержится в области G». Вероятность события А будет определяться формулой :

(3.3)

Пример 1. В круг вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадает в квадрат?

Решение. Введем обозначения: R – радиус круга, а- сторона вписанного квадрата, событие А – попадание точки в квадрат, S – площадь круга, S₁ – площадь вписанного квадрата. Как известно, площадь круга S=R². Сторона вписанного квадрата через радиус описанной окружности выражается формулой , поэтому площадь квадрата S₁= 2R².

По формуле (3.1) S_g=S₁, S_G=S, находим искомую вероятность

Ответ : 0,637

Задачи.

67. (Задача Бюффона). Плоскость расчерчена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно а. На эту плоскость бросается наудачу отрезок длины l (l<a).Какова вероятность того, что отрезок пересекается хотя бы с одной из прямых семейства?

Ответ: 0,637

68. В шар вписан куб. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность того, что точка попадает в куб.

Ответ: 0,368

69. На плоскости область G ограничена эллипсом х²/49+y²/16=1, а область g ограничена эллипсом x²/25+y²/9=1. В области G брошена точка. Какова вероятность того, что попадет в область g?

Ответ: 0,714

70.Точка брошена в область G , ограниченную эллипсом х²+4у²=8. Какова вероятность того, что она попадет в область g, ограниченную этим эллипсом и параболой X²-4у²=0?.

Ответ: 0,303

71. На отрезок единичной длины бросают наудачу две точки. Они разбивают отрезок на три части. Какова вероятность того, что из этих отрезков можно построить треугольник.

Ответ: 0,25

72. На отрезке [0;2] наудачу выбраны два числа X и Y. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам x ² 4у 4

Ответ: 1/3

73. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого равно одному часу, а второго – двум часам.

Ответ: 1/3

74. Взяты наугад два положительных числа, каждое из которых не больше единицы. Какова вероятность того, что их сумма не превзойдет единицы, а произведение будет не более 2/9?

Ответ: 0,467

75. В прямоугольник с вершинами K (-1,0), L(-1,5),M(2,5),N(2,0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты (x,y) будут удовлетворять неравенство х²+1 y x+3?

Ответ: 0,3

76. Область G ограничена эллипсоидом x²/16+y²/9+z²/4=1, а область g-этим эллипсоидом и сферой х²+у²+z²=4.В область G наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что она принадлежит области g.

Ответ: 2/3

77 . В квадрате с вершинами O(0;0), K(0;1), L(1;1),M(1;0) наудачу отмечена точка Q(x;y). Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству y>2x?

Ответ: 0,25

78. В шар вписана правильная треугольная пирамида. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность попадания точки в пирамиду.

Ответ: 0,123

79. Стержень длиной L произвольным образом сломан на три части. Какова вероятность того, что из этих частей можно составить треугольник?

Ответ: 0,25

80. На плоскости область G ограничена эллипсом x²/36+y²/25=1, область g-этим эллипсом x²/9+y²/4=1. В область G брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадает в область g?

Ответ: 5/6

81. В прямоугольник с вершинами K(-2;0), L(-2;5), M(1;5), N(1;0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам x²+1 y 3-x?

Ответ: 0,3

82. В области G, ограниченной эллипсоидом x²/16+y²/9+z²/4=1, наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что координаты этой точки будут удовлетворять неравенству x²+y²+z² 4?

Ответ: 1/3

83. В прямоугольник с вершинами R(-2.0), L(-2,9), M(4.9), N(4.0) брошена точка. Найти вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам 0 y 2x-x²+8.

Ответ: 2/3