2. Визначення числових характеристик розподілу ймовірностей цих результатів як випадкових величин

Числові характеристики розподілу ймовірностей результатів вимірювання обчислюють для виправленого ряду результатів вимірювань, тобто ряду, з якого усунені грубі похибки. При цьому слід здійснити наступні операції:

• вирахувати математичне сподівання (середнє арифметичне) виправлених результатів спостережень і прийняти його за результат вимірювання, а також моду та медіану;

• вирахувати згідно з ГОСТ 11.004-74 оцінку середнього квадратичного відхилення результату спостереження (див. табл. 2 додатку) та оцінку середнього квадратичного відхилення результату вимірювання [4].

• вирахувати оцінки другого m₂, третього m₃ та четвертого m₄ центральних моментів розподілу, оцінки характеристик асиметрії і гостровершинності розподілу.

Оцінкою математичного сподівання m_x є середнє арифметичне цього ряду , яке надалі вважають результатом вимірювання .

Оцінкою медіани при непарному числі n результатів вимірювань є середній член варіаційного ряду з порядковим номером , тобто:

;

а при парному числі n результатів вимірювань – середнє арифметичне між членами цього ряду з порядковими номерами та :

.

Оцінкою моди є результат вимірювання, який найчастіше зустрічається в даному ряді. У деяких випадках доцільно групувати дані за інтервалами частот однакової довжини. При цьому мода береться як центральна точка частотного інтервалу, який вміщає в собі найбільше число вимірювань.

Оцінка дисперсії або обчислюється наступним чином:

m₂ є одночасно оцінкою центрального моменту розподілу другого порядку.

Відповідно оцінки центральних моментів розподілу третього m₃ і четвертого m₄ порядків вираховуються за формулами:

; .

Оцінка середнього квадратичного відхилення результатів вимірювань визначається за формулою:

.

Оцінка S₁ середнього квадратичного відхилення результатів спостережень визначається як , де коефіцієнт в залежності від числа ступенів вільності f=n-1 вибирається з таблиці 2 у додатку.

Оцінки характеристик асиметрії і ексцесу (гостро- чи плосковершинності) розподілу, які позначаються відповідно і , дорівнюють:

; .

2. Перевірка гіпотези про належність до нормального закону розподілу

Перевірку гіпотези про те, що результати спостережень належать до нормального розподілу здійснюють за допомогою складового критерію [3,4] (див. табл. 3, 4 і 5 додатку) та методики Пірсона [10].

Складовий критерій

Cкладовий критерій складається з двох критеріїв.

Критерій 1.

Відповідно до першого критерію необхідно знайти зміщену оцінку середнього квадратичного відхилення:

,

- зміщена оцінка середнього квадратичного відхилення;

- результат вимірювання,

- кількість результатів вимірювань.

Після чого слід порахувати відношення .

Результати групи спостережень вважаються розподіленими нормально, якщо

,

де і - квантілі розподілу, і беруться з таблиці 3 залежно від n , і , де q – заздалегідь вибраний рівень значення критерію.

Критерій 2

Можна вважати, що результати спостережень належать до нормального розподілу, якщо не більше m різниць перевищили значення ,

де S – незміщена оцінка середнього квадратичного відхилення, що визначається за формулою

;

- верхня квантіль розподілу нормованої функції Лапласа, яка відповідає ймовірності P/2, знаходять із таблиці 5.

Значення ймовірності P визначається з таблиці 4 за вибраним рівнем значення q₂ і числом результатів спостережень n.

Якщо для критерію1 вибраний рівень значення q₁, а для критерію 2 - q₂ , то результуючий рівень значення складеного критерію .

Якщо хоча б один з критеріїв не виконується, то розподіл результатів групи спостережень не відповідає нормальному.