Тема: Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики

Головні питання:

1. Задачі, в яких треба визначити, скільки різних підмножин або упорядкованих підмножин можна утворити з елементів даної множини, називають комбінаторними задачами.

2. Якщо елемент деякої множини А можна вибрати т спосо­бами, а елемент множини В - п способами, то елемент з мно­жини А або з множини В можна вибрати т + п способами. Це - правило суми.

3. Якщо перший компонент пари можна вибрати т способа­ми, а другий - п способами, то таку пару можна вибрати тп способами. Це - правило добутку.

4.Добуток усіх натуральних чисел від 1 до п називають n-факторіалом і позначають п!.

5.Упорядковану k-елементну підмножину n-елементної мно­жини називають розміщенням з k елементів по п. їх кіль­кість позначають .

Для будь-яких натуральних п і k (n k)

= n(n-1) …(n-k+1).

6. Число розміщень з п елементів по k дорівнює добутку к послідовних натуральних чисел, найбільше з яких n.

7.Розміщення з га елементів по га називають перестановка­ми з п елементів. їх кількість позначають Р_п.

8.Кількість перестановок з n елементів дорівнює n!: Р_п = n!.

Комбінацією з п елементів по k називають будь-яку k-елементну підмножину n-елементної множини. Кількість комбінацій з га елементів по k позначають :

=

9. Статистика - це наука про збирання, обробку та ви­вчення різних даних, пов’язаних з масовими явищами, про­цесами та подіями.

10. Мода вибірки - її варіанта з найбільшою частотою.

11. Медіана вибірки - число, яке «поділяє» відповідний варі­аційний ряд навпіл.

12. Середнім значенням вибірки називають середнє арифме­тичне всіх її варіант.

13.Елементарною подією називають кожен можливий наслі­док імовірнісного експерименту. Множину всіх можливих наслідків експерименту називають простором елементарних подій і позначають грецькою буквою Q (омега).

14. Ймовірністю випадкової події А називають відношення кількості п(А) сприятливих для події А- елементарних подій до кількості всіх рівноможливих і попарно несумісних елементарних подій, які утворюють простір елементарних подій для даного випробування:

Р(А) =

Таке означення ймовірності називають класичним.

15. Найважливіші властивості ймовірності випадкової події:

1) якщо С подія неможлива, то Р(С) = 0;

2) якщо В - подія достовірна, то Р(В) = 1;

3) якщо X - подія випадкова, то 0 < Р(Х) < 1;

4) якщо Е_іг Е₂, Е₃, ..., Е_п - елементарні події, що вичерпують деяке випробування, то P(E₁) + Р(Е₂) + Р(Е₃) + ... + Р(Е_г) = 1.

16. Якщо в п випробуваннях подія А відбувається т разів, то дріб — визначає відносну частоту події А. У багатьох реальних випадках зі збільшенням п відносна частота події стабілізується і дедалі менше відрізняється від деякого числа р (коли п , то р). Таке число р називають імовірністю події А. Це — статистичне означення ймовірності.

Тема: Паралельність прямих і площин у просторі

Головні питання:

1.Дві прямі в просторі можуть перетинатися, бути паралель­ними або мимобіжними. Дві прямі називають мимобіжними, якщо вони не лежать в одній площині. Якщо одна з двох прямих, що не перетинаються, лежить у деякій площині, а друга пере­тинає цю площину, то такі прямі мимобіжні (ознака мимобіжності прямих).

2. Дві прямі простору, які лежать в одній площині і не перети­наються, називають паралельними прямими. Два промені або відрізки, які лежать на паралельних прямих або на одній прямій, називають паралельними.

3. Три або більше попарно паралельних прямих простору можуть ^; не лежати в одній площині.

4. Через будь-яку точку простору можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій.

5. Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній.

6. Нехай через кожну точку фігури К проведено пряму, пара­лельну деякій прямій l. Якщо всі ці промені перетинають пло­щину а в точках, які утворюють фігуру К₁, то К₁ - паралельна проекція фігури К на площину . Тут - площина проекцій, а прямі, паралельні l, - проектуючі прямі.

7. При паралельному проектуванні відрізки, не паралельні проектуючій прямій, зображаються відрізками, паралельні відрізки - паралельними відрізками, при цьому відношення їхніх довжин зберігається.

8.Зображенням фігури називають фігуру, подібну проекції да­ної фігури на деяку площину.

9. Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок. Якщо пряма а паралельна якій-небудь прямій площини а, то а а (ознака паралельності прямої і площини).

10.Дві площини називають паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

11. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються, пара­лельні двом прямим другої площини, то такі площини пара­лельні (ознака паралельності площин).

12.Якщо одну з паралельних площин перетинає яка-небудь пряма або площина, то вона перетинає й другу площину. Пара­лельні площини перетинаються січною площиною по паралель­них прямих. Паралельні площини, перетинаючи паралельні прямі, відтинають від них рівні відрізки.