Тема: Степенева, показникова та логарифмічна функція

Головні питання:

1. Вираз а^а називають степенем. Тут а - основа степеня, - його показник. Значення степеня з раціональним показником знаходять за формулами:

а¹ = а; а° = 1 (а 0); а^п = а а ... а, (а є R, п є N);

п разів

а^-n = (а о, п N); = (п є N, т є Z, а > 0). а

2. Основні властивості степенів:

1) а^т а^п = а^m+n; 2) а^m : аⁿ = а^m-n ; 3) (а^m)ⁿ = а^{m n};

4) (а b)ⁿ = аⁿ bⁿ; 5) (а : b)^п = а^п : b^п.

3. Основні властивості показникової функції:

1) Область визначення функції y = а ^х – множина R

2) Область значень функції y = а ^х - множина (0; );

3) якщо а 1, функція у = а ^х зростає, а якщо 0 < а < 1 - спадає;

4) функція у = а^х - ні парна, ні непарна, ні періодична;

5) графік кожної показникової функції проходить через і точку (0; 1).

4.Логарифмом числа b за основою а називають показник степеня, до якого потрібно піднести число а, щоб дістати b.

Тобто, якщо а^х = Ь, то х = log_ab (b > 0, а > 0, а Ф 1).

5. Властивості логарифмів:

6.Функція виду у = log_a х, де а > 0, а ф 1, називається лога­рифмічною.

7. Основні властивості логарифмічної функ­ції:

1)Область визначення функції у = log_ax - множина (0; );

2)Область значень функції у = log_a х - множина R;

3)Якщо а > 1, функція у = log_a х зростає, а якщо 0 < а < 1 - спадає;

4) функція у = log_ax - ні парна, ні непарна, ні періодична;

5) графік кожної логарифмічної функції проходить через точку (1; 0).

8. Функції у = log_a х і у = а^х - взаємно обернені, тому їх гра­фіки симетричні відносно прямої у = х.

9 . Показниковими називаються рівняння та нерівності, у яких змінні містяться лише в показниках степенів.

10.Основні методи розв’язування показнико­вих рівнянь і нерівностей:

І. Метод зведення обох частин рівняння до степенів (логарифмів) з однаковимиосновами; Метод уведення нової змінної;

ІІ. Функціонально-графічний метод.

11. Логарифмічними називаються рівняння та нерівності, у яких змінні містяться лише під знаками логарифмів.

12. Основні методи розв’язування логарифмічних рівнянь і нерівностей:

І. За означенням логарифма;

ІІ. За властивостями логарифмів і логарифмічної функції,

ІІІ. Введення нової змінної;

ІV. Графічний;

V. Логарифмування.

13. Показникові та логарифмічні рівняння й нерівності вхо­дять до складу трансцендентних рівнянь і нерівностей.

Тема: Похідна та її застосування

Головні питання:

1. Число b називається границею функції f(x) у точці х = а, якщо для будь-якого додатного числа е можна вказа­ти таке додатне число , що для всіх значень х із проміжку (а - ; а + ), крім, можливо, самої точки х = а, справджу­ється нерівність < .

2 .Якщо кожна з функцій f(х) і g(x) має границю в точці а, то в цій точці існують границі функцій f(х) + g(x), f(x) g(x), kf(х), (g(x) і мають місце нерівності:

3. = f(x) + g(x);

2) = f(x) g(x);

3) kf(x) +k f(x);

4) = , якщо .

4.Функція називається неперервною в точці Х0, якщо існує границя функції в цій точці і вона дорівнює значенню функ­ції в точці Х0.

5. Похідною функції f(х) у точці Х₀ називають границю відношення і приросту функції в точці Х₀ до приросту аргументу, якщо приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує:

6. Правила та формули диференцювання

7. Якщо у = f(u), де u = h(x), то у' = у'_u u^'.

у¹ = k = tg - геометричний зміст похідної. v = s'(t); a(t) - v'(t) - механічний зміст похідної. у - У₀ = f (х₀)(х - х₀) - рівняння дотичної до графіка функ­ції у = f(x) у точці Х₀.